Solutions d'une équa. diff

Tom-0
Tom-0
dans Analyse
Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre le problème suivant:

On considère l'équa diff (1) : (x²-1)y'' + 2xy' - ay = 0 où a est un réel donné.

J'ai trouvé que la série entière associée à une suite (cn) était solution si cn vérifiait une certaine relation de récurrence d'ordre 2 ce qui m'a donné un système fondamental de solution sur ]-1,1[ (le rayon de ces solutions étant 1).

On me demande ensuite d'étudier les solutions de cette équa. dif. sur [-1,1].

Je peux dire qu'une telle solution, étant solution sur ]-1,1[, sera combinaison linéaire de mes deux séries enitères au moins sur ]-1,1[ mais je n'arrive pas à montrer ce qui se passe en -1 et 1.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Réponses

  • Ludovic
    Ludovic
    Donne nous les coefficients $c_n$ ou au moins les relations de récurrence que tu as trouvés. Ca nous simplifiera le travail.
  • Tom-0
    Tom-0
    Oui c'est vrai :)

    J'ai trouvé que la condition pour que la série entière soit solution est :

    Ck+2 = (k(k+1)-a)/(k+1)(k+2)Ck

    De plus, si je considère la suite Ck vérifiant cette relation et avec C0=0, C1=1 j'obtiens par la règle de d'Alembert un rayon de CV de 1, je considère ensuite la série avec C0=1,C1=0 et je conclus de même. Le deux séries obtenues forment une famille libre de solutions sur ]-1,1[, mais a priori je ne vois pas quoi dire en -1 et 1.
  • Guego0
    Guego0
    Il n'y a pas la réponse à ta question, mais il y a pas mal d'infos sur ton équa diff ici : <a href=" http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html"&gt; http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html</a><BR&gt;
  • Tom-0
    Tom-0
    Effectivement cette page montre au moins que je ne me suis pas trompé.
    Ils disent bien que 1 et -1 sont des points singuliers mais ils ne disent pas ce qu'il en est des solutions sur [-1,1] c'est dommage.

    Enfin bon ça doit être un problème classique, il y a bien quelqu'un qui doit savoir non ?
  • gb0
    gb0
    La relation de récurrence sur les coefficients $c_{k}$ permet d'en avoir un équivalent, même un DA suivant les puissances de $\dfrac{1}{k}$ afin d'étudier le comportement de la série entière aux bornes de l'intervalle de convergence.
  • Tom-0
    Tom-0
    Peux-tu préciser comment obtenir un équivalent stp ?
  • gb0
    gb0
    On part de $\dfrac{c_{k+2}}{c_{k}} = \dfrac{k(k+1)-a}{(k+1)(k+2)}$, et on fait un DL du log, par exemple :
    $\ln(c_{2k+2}) - \ln(c_{2k}) = - \dfrac{1}{k} + \dfrac{2-a}{4k^{2}} + o\left(\dfrac{1}{k^{2}}\right)$
    on fait la somme par télescopage :
    $\ln(c_{2k} = -\ln(k} + S + o\left(\dfrac{1}{k}\right)$
    $S$ est une constante qui tient compte de $\ln(c_{0}$, de la constante d'Euler et de la somme de la série en $\dfrac{1}{k^{2}$
    et finalement
    $c_{2k} =\dfrac{e^{S}}{k}e^{o(1/k)}$ et un équivalent de la forme $\dfrac{\lambda}{k}$ avec $\lambda >0$.
    On peut faire de même pour un équivalent de $c_{2k+1}$...
  • gb0
    gb0
    Petit pb de LaTeX

    On part de $\dfrac{c_{k+2}}{c_{k}} = \dfrac{k(k+1)-a}{(k+1)(k+2)}$, et on fait un DL du log, par exemple : \\
    $\ln(c_{2k+2}) - \ln(c_{2k}) = - \dfrac{1}{k} + \dfrac{2-a}{4k^{2}} + o\left(\dfrac{1}{k^{2}}\right)$\\
    on fait la somme par télescopage :\\
    $\ln(c_{2k}) = -\ln(k) + S + o\left(\dfrac{1}{k}\right)$\\
    $S$ est une constante qui tient compte de $\ln(c_{0})$, de la constante d'Euler et de la somme de la série en $\dfrac{1}{k^{2}}$\\
    et finalement\\
    $c_{2k} =\dfrac{e^{S}}{k}e^{o(1/k)}$ et un équivalent de la forme $\dfrac{\lambda}{k}$ avec $\lambda >0$.\\
    On peut faire de même pour un équivalent de $c_{2k+1}$...
  • Tom-0
    Tom-0
    Merci. Donc je sais maintenant que les séries entières considérées divergent en 1, mais qu'en déduire quant à une éventuelle solution de l'équa diff sur [-1,1] ?

    En fait le résultat auquel je dois arriver est qu'il n'y a que dans le cas où a est de la forme n(n+1) qu'il existe des solutions de l'équation sur [-1,1] (qui sont alors des polynômes de legendre).

    Mon problème est donc de montrer qu'une fonction non polynômiale solution sur ]-1,1[ ne peut pas être solution sur [-1,1].

    Pour cela il suffirait que je montre que les deux séries entières solutions n'ont pas de limite finie en 1 lorsqu'elles ne sont pas des polynômes. Or ce que je sais maintenant est qu'elles ne convergent pas en 1, mais je ne pense pas que ça soit suffisant pour dire que la fonction S(x) (somme de la série) tend vers + inf quand x tend vers 1 dans ]-1,1[ nan ?
  • gb0
    gb0
    En fait, ce sont des pb techniques de comportement des séries entières sur le bord du disque de convergence.
    Si $a$ est de la forme $n(n+1)$, les coeff de la série sont nuls à partir d'un certain rang, on obtient un polynôme solution de l'équa diff sur $\R$.
    Si $a$ n'est pas de la forme $n(n+1)$, les coeff sont tous positis.
    Sur $[0,1]$, la somme partielle $S_{n}$ de la série entière est un polynôme qui a limite en 1 la somme partielle $\Sigma_{k}$ de $c_{k}$. Mais la somme $S$ de la série entière est minorée par $S_n$. Tu écris :
    $S(x) - \Sigma_k \geq S_{n}(x) - \Sigma_{k}$
    et tu te débrouilles pour montre que $S$ tend vers $+\infty$ en 1, la solution ne peut pas se prolonger sur $[0,1]$.
    En -1 la série est alternée et l'étude est plus délicate. Tu peux peut-être sommer les termes deux par deux...
  • Tom-0
    Tom-0
    Soit A>0. Pour n suffisamment grand on a Sn(1) > A+1. Pour x suffisamment proche de 1 (x dans ]1,e]) on a Sn(1) - Sn(x) <1.

    On a donc pour x dans ]1,e] :

    S(x) >= Sn(x) = Sn(1) + Sn(x) - Sn(1) > A+1 - 1 = A

    D'où S(x) -> +inf en 1 et l'impossibilité de prolonger.

    Merci beaucoup :)

    (l'étude en -1 n'est pas demandée dans mon problème)
  • gb2
    gb2
    Bravo, tu as tout compris.
    La positivité des coefficients de la série entière est un point crucial de l'étude.
    Petit conseil : Va lire TITCHMARSH $\textit{The Theory of Functions}$. Les séries entières, en particulier les théorèmes taubériens sont magnifiquement traités.
  • Tom-0
    Tom-0
    Ca serait avec plaisir mais tant que je suis en prépa je préfère restreindre mon exploration du hors-programme en mathématiques (et oui, il faut aussi du temps pour la chimie :D).
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