serie entiere

novice · November 2006

bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice :
"En utilisant un développement en sérien entière, établir que :
pour tout x $\in$ ]0,1], x-$\frac{x^3}{6}$ $\leq$sin(x)$\leq$x-$\frac{x^3}{6}$+$\frac{x^5}{120}$

Je connais le développement en série entière de sin x, mais je ne vois pas comment poursuivre...

Tom-0 · November 2006

En remarquant que l'inégalité est vraie en 0 et en considérant les dérivées successives de la relation ça a l'air de marcher mais ça ne fait pas appel aux séries entières ...

Parseval · November 2006

Je pense que c' est l' encadrement quand on regarde le DSE comme une série alternée

gb0 · November 2006

Tom a raison, on dérive suffisamment longtemps pour avoir une inégalité triviale, et on remonte par intégration...
Le pb dans l'idée de parseval, c'est que le DSE est une série alternée, mais le terme général ne décroît pas en valeur absolue, donc ...

Parseval · November 2006

Pour moi il décroit

gb0 · November 2006

avec $u_{n} = \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, on a, pour $x > 0$ :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{x^2}{(2n+3)(2n+1)$
qui n'est pas nécessairement inférieur à 1

novice · November 2006

Donc gb et Tom, vous n'utiliseriez pas les séries entières? Je pense pourtant qu'il le faut...non?

gb0 · November 2006

avec $u_{n} = \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, on a, pour $x > 0$ :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{x^2}{(2n+3)(2n+1)}$
qui n'est pas nécessairement inférieur à 1

Parseval · November 2006

Il y a bien écrit que 0<x<1

Aleg · November 2006

novice, ton inégalité résulte directement de Taylor-Lagrange.
Nul besoin de faire appel à des séries.

Tom-0 · November 2006

En même temps si on lui demande de le faire avec les séries c'est qu'il a pas le choix

novice · November 2006

Rectificatif x $\in$ ]0,1[ et non pas 1 compris.
Sans offusquer personne, je pense qu'il doit falloir utiliser le DSE car je suis en plein dans ce chapitre (meme si d'autres solutions peuvent exister..)

gb0 · November 2006

Mes excuses, j'avais lu trop vite, et manqué la condition $0 < x \leq 1$.
La série entière est bien évidemment alternée et satisfait au critère spécial, d'où l'encadrement par les sommes partielles.
J'avais surtout à l'idée que le résultat vaut pour tout $x$.

Aleg · November 2006

on a toujours le choix de répondre intelligemment à une question bête.

geo · November 2006

si tu utilise les séries regarde les restes

par exemple

$sinx=\sum_{n=o}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
or le terme de gauche de ton inégalité est plus petit que ...

geoffrey

novice · November 2006

Ok, je vois l'idée, mais comment cela marche-t-il, on encadre par quoi?
sin x sera toujours compris entre une somme partielle de 0 à K et une somme partielle de 0 à k+1?
C'est celà?
Ainsi j'aurai le résultat?

Désolé de mes petites connaissances....

Tom-0 · November 2006

Quand tu démontres le critère spécial de CV pour les séries alternées tu vois que les suites S2n et S2n+1 sont adjacentes donc ont une limite qui est pour tout n entre S2n et S2n+1.

geo · November 2006

ben tu peux écrire que $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$d'où $x-\frac{x^3}{3!}\leq sinx$ etc

geoffrey

geo · November 2006

n'oublie pas que $x\in[0,1[$

geoffrey

bisam · November 2006

geo, ta démo est complètement fausse car un dl n'est en fait qu'une écriture différente pour une limite. Donc il n'est valable que lorsque x s'approche de la valeur en question (ici 0)... et jamais sur tout un intervalle.

abdelbaki.attioui1 · November 2006

$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Pour $x\in]0,1]$ c'est une série altérnée Qui converge d'après Le T.S.S.A.

Si l'on pose $R_n(x)= \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
On a alors $R_n(x)$ est de même signe que son premier $u_{n+1}$ et $|R_n(x)|\leq |u_{n+1}|$

Or $\sin(x)-(x-\frac{x^3}{3!} = R_4(x) $ d'où le résulltat

Gilles Benson0 · November 2006

Taylor avec reste intégral donne le meilleur résultat; sinon c'est un exercice de terminale que d'étudier le signe de deux différences par des dérivations successives

novice · November 2006

je l'ai corrigé cette après-midi, c'est en fait en utilisant le CSSA et en remarquant que $\sin(x)-x-\frac{x^3}{3!} = R_2(x) $ et donc du même signe que le premier terme du reste (cad positif, car puissance de -1 positive), puis de même pour l'autre inégalité en utilisant $R_3(x) $ qui est negatif.

bisam · November 2006

Oui, c'est ce qu'on t'a dit au moins 3 fois sur ce post !!

novice · November 2006

désolé, mais je ne suis pas du tout au point sur ces notions, et donc j'ai du mal à comprendre, de plus, on m'avait aussi parlé d'encadrement par les suites adjacentes et jétais partie sur ça.
Merci quand meme à tout le monde.

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