séries et d'Alembert

gin
gin
dans Analyse
bonsoir,

je me pose la question suivante:

pour une série entiere de la forme $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n.x^{2n}$
pourquoi ne peut t-on pas appliquer la regle de d'alembert sur les series alternées pourquoi reppasser par la regle de d'alembert sur les series alternées.
merci d'avance.

Réponses

  • gb2
    gb2
    Qu'appelles tu "règle de d'Alembert sur les séries alternées" ?
    La classique règle de d'Alembert est un critère de convergence absolue qui n'a rien à voir avec les séries alternées.
  • Tom-0
    Tom-0
    La question que l'on peut se poser, je pense, en voyant la série (constituée de termes pairs) est : pourquoi ne peut-on pas appliquer la règle de d'Alembert sur les séries entières, pourquoi doit-on repasser à celle sur les séries numériques, et c'est car les termes impairs sont nuls.
  • gin
    gin
    oui, bien sur c'était ma question, désolé j'ai fait un lapsus.

    ok, mais pourquoi le fait qu'il y est des termes nuls dans cette serie entière nous interdit d'utiliser le critère de d'Alembert sur les séries entières?
  • Parseval
    Parseval
    Si les (an) sont tous non nuls alors tu peux l'appliquer
  • gb0
    gb0
    Le problème avec la règle de d'Alembert, c'est que l'on ne peut pas diviser par 0 !!!
    Les termes nuls dans la série sont donc très ennuyeux.
    Si l'on suppose que $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ a pour limite $\ell$, avec $u_{n} = a_{n}x^{2n}$, on a
    $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| = \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}x^2\right|$
    de limite $\ell x^2$
    La série converge pour $\ell x^2 < 1$ et diverge pour $\ell x^2 > 1$
    Le rayon de convergence est donc $\dfrac{1}{\sqrt{\ell}}$
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Donc, il suffit de poser x²=t pour se ramener à une série habituelle.
  • gb0
    gb0
    Cela paraît évident, mais il faut penser que le rayon de convergence donne alors une condition sur $t$ et qu'il faut exprimer cette condition en $x$.
  • gin
    gin
    ok, merci gb et aux autres.
    c'est bon j'ai compris.
  • gin
    gin
    Juste une dernière précision,
    Je ne comprends pas trop ta remarque Parseval, puisqu'il faudrait diviser par zéro ?
  • Parseval
    Parseval
    J' ai dit ça ? Tous non nuls ça veut dire qu' il y en a aucun de nul non ?
  • gin
    gin
    désolé, ca doit étre la fatigue...
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