inversion locale et classe C0

e=mc3 · November 2006

Bonjour

dans tous les livres d'analyse que j'ai les théorèmes d'inversion locale ou globale ont comme hypothèse que la fonction f soit de classe $C^1$.

J'imagine que si l'on garde toutes les hypothèses et que l'on remplace $C^1$ par $C^0$ ça ne marche plus, mais je n'ai pas de contre exemple sous la main.

Sinon que faudrait il (si c'est possible) modifier dans les hypothèses du th. d'inversion locale pour avoir un résultat avec de simples fonctions différentiales (injectives) et comme résultat l'existence d'un homéomorphisme local?

Guego0 · November 2006

Je ne me rappelle plus le contre-exemple exact, mais on doit pouvoir le trouver dans le Rouvière (petit guide de calcul diff) : même pour différentiable injective, ça ne marche pas. L'idée est de prendre une fonction (de $\R$ dans $\R$) qui oscille autour de la fonction identité (mais avec peu d'amplitude pour rester injective) et qui oscille de plus en plus vite lorsqu'on se rapproche de zéro.

e=mc3 · November 2006

a)C'est où dans le Rouvière. Tout ce que j'y ai trouvé ce sont deux contre exemples:
l'un pour lequel inversion locale en tout point n'implique pas inversion globale
l'autre où f n'est pas injective mais la différentielle est inversible: en fait la dérivée est non nulle car c'est une fonction numérique)

b)Sinon ma deuxième question reste entière: peut on compenser la non continuité de la différentielle par une autre hypothèse.

LIautard4 · November 2006

Bonjour

E: Banach
Si f est continue de U ouvert de E dans E si f'(a) est un homéomorphisme de E sur E
Si f est strictement différentiable en a, a dans U
Alors f est un homéomorphisme local d'un voisinage de a.

Cordialement

e=mc3 · November 2006

Merci Liautard

dans tes hypothèses on a encore la continuité de la différentielle.
Sinon le coup du strictement différentiable je l'ai vu dans le Cartan et je n'en n'ai pas saisi toute la subtilité

inversion locale et classe C0

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