Théorie de la mesure

Jean valjean
Jean valjean
dans Analyse
Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice !!

On se place dans l'espace mesuré $(\N,\mathcal{P}(\N),\nu)$ avec $\nu(A)=\vert A \vert$. Si $f:\N\to \R$ est intégrable, montrer que
$$\sum_{n=1}^\infty f(n) = \int f d\nu$$
où la série converge dans $\overline{\R}$.

Donner un exemple où $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ converge dans $\R$ et tel que $f$ n'est pas intégrable.

Merci d'avance !!

Réponses

  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    1) Si f st sommable |f| l'est aussi
    |f| est la limite d'une suite croissante de fonctions étagées :
    somme : id e 1 à p des |f(i)|
    La série est absolument sommable
    2) Prendre une série convergente et non absolument convergente

    Cordialement
  • Jean valjean
    Jean valjean
    Je dois avouer que je ne comprends pas grand chose à ta réponse.

    Quelqu'un pourrait détailler ?

    Merci !
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    Tout d'abord il faut prendre N*
    1) j'ai fait une erreur de notation

    Soit Fp = |f| sur [1,p], 0 ailleurs, les Fp forment une suite croissante de fonctions étagées qui convergent vers |f|
    Donc somme des |f(n)| = intégrale de |f|

    Soit fp = f à sur [1,p], 0 ailleurs

    la suite fp converge vers f , appliquer le théorème de convergence dominée

    Cordialement
  • Jean valjean
    Jean valjean
    Désolé mais je ne comprends toujours pas !!

    Je sais que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$ est convergente, mais rien ne me dit que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\vert f(n)\vert$ converge !

    Une série convergente n'est pas forcément absolument convergente ! Considérer par exemple $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n}$$
  • Gilles Benson0
    Gilles Benson0
    bonjour, le pb est qu'il existe des séries convergentes qui ne supportent pas une réindexation de leurs termes et la sommation par paquets de termes réindéxés... comme la série harmonique alternée de sorte qu'en sommant suivant differentes partitions de N, on obtient des intégrales différentes ....Le phénomène est bien expliqué dans Valiron théorie des fonctions (chez Masson) qui bien que vieillot contient beaucoup de matériel.
    En espérant vous avoir aidé.
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    Cest le fait que |f| soit intégrable qui entraine que la série |f(n)| est absolument convergente
    L'intégrale de Fp = somme de 1 à p des |f(n)| est majorée par l'intégrale de |f|.

    Cordialement
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