disque et carré sont-ils homéomorphe ?

dhahri1
dhahri1
dans Topologie

Bonjour,
Je n'arrive pas à prouver que le disque unité
$$D=\{(x,y);\\:x^{2}+y^{2}\leq 1\}$$ et le carré
$$C=\{(x,y);\\:|x|\leq 1, :|y|\leq 1\}$$
sont homéomorphe?
Est ce qu'il suffit de dire que chacun d'eux est connexe par arc et fermé borné?
Et si possible est ce que quelqu'un peut me donner l'homéomorphisme en question
Merci bien pour votre aide
Amicalement
Dhahri

Réponses

  • alekk
    alekk
    <!--latex-->Le théorème de Riemann
    <BR><a href = "http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_représentation_de_Riemann"&gt; http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_représentation_de_Riemann </a>
    <BR>montre que le carré ouvert est homéomorphe au disque ouvert. De plus on peut étendre cet homéomorphisme à la frontière (voir Rudin par exemple)
  • dhahri1
    dhahri1
    Merci bien pour la réponse, je vais regarder immédiatement le site que tu m'as proposé, Merci encore une autre fois
    Amicalement
    Dhahri
  • egoroff
    egoroff
    Tu as aussi que deux compacts convexes symétriques et d'intérieurs non vides de $\R^n$ sont des boules unité fermées pour une certaine norme, et comme en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, toutes les boules sont homéomorphes, et on a même l'expression explicite de l'homéomorphisme.


    Ici tu dois construire une bijection entre $D$ qui est la boule pour la norme euclidienne $N_2$ et $C$ qui est la boule pour la norme du sup $N_{\infty}$. Une bonne idée est d'essayer de trouver une application qui "conserve la norme" mais au sens suivant : $N_2(f(x))=N_{\infty}(x)$ (ou l'inverse). L'idée est de transformer un vecteur $x$ tel que $N_{\infty}(x)=r$ en un vecteur $f(x)$ tel que $N_2(f(x))=r$, comment faire ?
  • dhahri1
    dhahri1

    Aprés avoir jeter un coup d'oaul sur le théorème de représentation de Riemann j'ai trouvé que l'ouvert $\Omega$ doit etre simplement connexe.
    Mais que veut dire simplement connexe?
    Et merci bien encore une autre fois pour votre aide
    Amicalement
    Dhahri
  • egoroff
    egoroff
    Salut,
    <BR>
    <BR>Puisque tu étais dans wikipédia tu aurais pu y lancer une recherche ! On trouve tout de suite : <a href=" http://fr.wikipedia.org/wiki/Simplement_connexe"&gt; http://fr.wikipedia.org/wiki/Simplement_connexe</a><BR&gt;
  • Archimède
    Archimède
    On suppose que le carré fermé et le disque fermé sont centrés en $O$.

    Soit $M$ un point du carré distinct de $O$.
    La demi-droite fermé $[OM)$ coupe la frontière du carré en $M_0$ et la frontière du disque en $M_1$. Il suffit de considérer l'homéomorphisme dont la restriction à $[OM)$ est l'homothétie envoyant $M_0$ sur $M_1$.
    On a ainsi un homéomorphisme du carré fermé sur le disque fermé.
  • egoroff
    egoroff
    Oui c'est à peu près ce que je voulais faire dire à dhahri...
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    Une methode élémentaire

    on pose F(P)=(sup /Px/,Py/)/N(P).P N(P)=norme euclidienne de P,
    Px,Py coordonnées de P

    On a un homéomorphisme du carrré sur le disque

    Verifirer:faire un dessin,que le bord du caré se transforme en bord du disque ,puis généraliser.

    Cordialement
  • dhahri1
    dhahri1
    @ egoroff et Archimede: Vous avez bien raison l'homothétie que vous m'avez proposé est bien un homémorphisme du carré dans le disque.
    Mais quelle est son expression explicite?
    @ Llautard: et pour le point origine? Ton F n'est pas définie en l'origine
  • egoroff
    egoroff
    Une homothétie est une similitude, donc transforme les carrés en carrés et les disques en disques. Ce n'est pas exactement ce qu'on a proposé, en tous cas pas moi, je ne parle pas d'une application linéaire. Mais effectvement, comme une homothétie, elle transforme tout vecteur en un vecteur colinéaire.
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour


    Par continuité: F(0)=0


    Cordialement
  • CQFD
    CQFD
    Pour poursuivre le propos d'Egoroff :
    Soit $\Omega$ un convexe compact contenant $O$ et symétrique par rapport à $O$. La jauge de $\Omega$ est l'application $j$ définie par $j(x)=\inf\{x>0;k^{-1}x\in\Omega\}$.
    Alors $\varphi(x)=j(x)\dfrac{x}{\|x\|}$ est un homéomorphisme de $\Omega$ sur la boule unité fermée de $\R^{n}$ (sa bijection réciproque étant $y\longmapsto\dfrac{\|y\|}{j(y)}y$).
    On peut donc construire ainsi (via la boule unité fermée) un homéomorphisme entre deux convexes compacts (contenant et symétriques par rapport à $O$)
  • dhahri1
    dhahri1

    Merci bien pour vos réponses
    @ CQFD: Qu'est ce que tu veux dire par $k^{-1}$? c'est quoi $k$?
    Merci encore une autre fois
  • CQFD
    CQFD
    Pardon, je me suis trompé dans la définition de la jauge :
    il s'agit de : $j(x)=\inf\{k>0;\frac{x}{k}\in\Omega\}$
    Voilà qui est plus clair...
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