Homéomorphisme

Bonjour à tous,

Je souhaiterais démontrer que $SO(3)$ est homéomorphe à $S^3/\Z/2\Z$.

Pour cela je commence par montrer que l'application $R_q$ de $S^3$ dans lui-même qui à un quaternion unitaire $x$ associe $q*x*qbarre$ où $q$ est un quaternion unitaire est une isométrie qui preserve l'orientation.
Ensuite je souhaiterais démontrer que l'application de $S^3$ dans $SO(3)$ quià $q$ associe $R_q$ est un homomorphisme de groupes continu surjectif.
J'arrive à montrer que c'est un homomorphisme de noyau ${-1,1}$ qui est isomorphe à $\Z/2\Z$ (on se rapprcohe là).Mais pour la conitnuité je n'y arrive pas.Et pour la surjectivité est-ce trivial?je veux dire suffit-il de l'écrire? (En l'écrivant je ne vois rien de choquant mais je demande sait-on jamais).
On concluera bien sur en invoquant le théorème d'isomorphie.
Qui pourrait me donner une indication svp?