polynôme minimal ponctuel

Bonjour
je rappelle le résultat classique suivant:
soit $u\in \L (E)$ où E est un $\K$ espace vectoriel de dimension finie

Si l'on note $\pi_u$ le polynome minimal de u $\pi_x$ le polynome minimal de u en x ( générateur de l'idéal des polynome tels que $P(u)(x)=0$)

alors on a $ \exist x\in E, \pi_u=\pi_x$

En relisant une démo dans MNEIME (groupes de Lie classiques) p.38 je me suis mis à me poser plusieurs questions

La démo de Mneimé est beaucoup plus courte que celle de Gourdon p177). Alors j'ai essayé de me demander pourquoi. Gourdon utilise le lemme des noyaux et se place à priori dans le cas général, tandis que Mneimé se place dans le cas $\K=\C$ ce qui lui permet d'avoir l'existence d'un hyperplan stable (trigonalisation) pour appliquer une récurrence.
1-a)La méthode de Mneimé est elle adaptable dans le cas d'un corps quelconque (il me semble qu'outre le pb de l'existence d'un hyperplan stable Mneimé utilise implicitement un argument faisant appel au carcactère infini du corps de base)
1-b) le résultat est il vrai quel que soit le corps (fini ou pas, quelle que soit sa caractéristique etc)? QUand on lit la démo de Gourdon on a envie de répondre que oui
1-c)Enfin en appelant A cet endomorphisme pour respecter les notations de Mneimé je me permets de rectifier une phrase qui n'a ni queue ni tête
Je replace cette phrase dans son contexte:
H: hyperplan de $\C^n$

$\bar{A}$ restriction de A à H
E: ensemble des endo pour lesquels pol. car= poly min (au signe près)
par récurrence:$\exist h\in H$ tq $\pi_{\bar{A}}=\pi_h$
soit $y\not\in H$
le polynome minimal de A par rapport à $h+\lambda y$ divise $\pi_A$. Comme $\lambda$ peut prendre une infinité de valeurs cela implique l'existence d'un $\lambda '$ tq $\pi_{h+\lambda y}=\pi_{h+\lambda' y}=Q$

et là voilà la phrase qui tue:

"$Q(X)$ divise $\pi(X)$ et s'annule sur $h+\lambda y$ et $h+\lambda' y$, donc, sur y, donc, sur h donc sur H donc sur E"!!!!!!!!!!!!!

Voici la phrase correcte d'après moi:
"$Q(A)$ s'annule sur $h+\lambda y$ et $h+\lambda' y$, donc, sur y (car $\lambda \neq\lambda' $) donc, sur h, donc sur H ( car l'annulation sur h entraine $\pi_h|Q$ donc $\pi_{bar{A}}|Q)$, donc sur $\C^n$ (car on peut décomposer un vecteur sur $\oplus H$ ce qui suppose que je n'ai pas pris un y quelconque contrairement à Mneimé mais bien un vecteur propre dont l'orthogonal (supplémentaire) est H)