normales

leev · November 2006

Montrer que :
Si les normales d'une surface régulière connexe se croisent dans un point fixé, alors la surface est contenue dans une sphère.

Mon idée est de considerer la fonction x²+y²+z² - R sur la surface et montrer qu'elle est costante.
On voit assez facilment que si un point p=(x,y,z) sur la sphère est orthogonale à un vecteur v=(v1,v2,v3), alors la derivée de la fonction dans la direction de v est nulle... Mais ça suffit pour déduire ce que je veux ?!?

Merci !!!

[Corrigé (ajouté connexe) selon ton indication. AD]

leev · November 2006

j'ai oublié d'ajouter que la surface doit être connexe

LIautard4 · November 2006

Bonjour

L'idée est bonne, on prend pour origine le point de concours et on montre que: x²+y²+z² est constant sur la surface

Pour faire les choses proprement : il faut préciser ce que l'on entend par surface : sous variété ?

Cordialement

leev · November 2006

On entend surface régulière, dont la déf est +ou-:

S surface régulière si:
$\forall p \in S$ \exist U \in \R^2$ , $\ V \in \R^3$ voisinage de $p$ et $x: U \rightarrow V \nn S $ t.q
i) x différentiable
ii) x homéomorphisme
iii) $\forall q\in U$, $dx(q): \R^2 \rightarrow \R^3$ est injective

LeeV

Alain Debreil · November 2006

On entend surface régulière, dont la déf est plus ou moins :

S surface régulière si :
$\forall p \in S \exists U \in \R^2, \ V \in \R^3$ voisinage de $p$ et $x : U \rightarrow V \subset S $ t.q
i) x différentiable
ii) x homéomorphisme
iii) $\forall q\in U,\ dx(q) : \R^2 \rightarrow \R^3$ est injective

LeeV

normales

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