Sinus

Rumsfell
Rumsfell
dans Analyse
Bonsoir,
Je cherche une caractérisation orginale de la fonction sinus ?
Merci de votre aide

Réponses

  • bisam
    bisam
    Je suppose que y"+y=0, y(0)=0 et y'(0)=1, ce n'est pas assez original.

    Une caractérisation par la série de Fourier te conviendrait-elle ?
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Faire original dans la définition du sinus, cela va être dur.
  • trolleybus
    trolleybus
    Tu peux essayer de definir sin(x) par son developpement en fraction continue (géneralisée?) :)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    la sinusoïde est la première courbe simple et harmonieuse proposée par les profs de math aux regards polissons des garçons

    le sinus d'un angle c'est aussi l'inclinaison d'une route du Tour de France lorsqu'il s'agit d'escalader un col de montagne

    le sinus est aussi en math l'une des rares fonctions admettant (quelle que soit x) un développement polynomial en sommes (de monômes de degré impair) et un développement en produits de binômes (produits infinis d'Euler)

    la fonction sinus permet de définir simplement le nombre pi comme premier zéro non-nul dans son tableau des variations

    la sinusoïde est l'occasion de définir une autre constante mathématique (liée à la rectitude de sa courbe entre les points d'abscisses 0 et pi) calculée par l'intermédiaire d'une intégrale elliptique

    sinus et son conjoint très fidèle cosinus forment un couple aux qualités et aux caractéristiques très riches, propres à enflammer l'esprit de recherche des jeunes matheux!

    cordialement
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Tu peux définir le sinus par son developpement en série entière (qui a un rayon de convergence infini)
  • mathelot1
    mathelot1
    bonjour,

    $y=\sin(x) \Leftrightarrow x=\int_{0}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}$
  • egoroff
    egoroff
    Euh, attention au domaine où varie $x$ dans l'équivalence précédente !
  • anonyme8
    anonyme8
    A propos de l'integrale de Mathelot:

    A ce qu'il parait on definit une fonction analogue au sinus en remplacant $\frac{1}{\sqrt(1-t^2)}$ par $\frac{1}{racine4eme(1-t^4)}$

    Cette fonction s'appelerait sinus lemniscatique.

    J'en ai entendu parler dans un livre, mais il n'en disait pas plus.
    Qqun peut-il m'en parler et m'en citer qqes propietes?
  • pat4
    pat4
    en voici une qui devrait te plaire :

    soit $f\in\mathcal C^\infty (\mathbb R)$ une application verifiant
    $$f'(0)=1$$
    et
    $$\vert f^{(n)}( x)\vert\leq 1$$
    pour tout $x$ reel et $n$ entier, alors $f(x)=\sin (x)$
    ce n'est tres difficile si $f$ est de plus $2\pi$ periodique et plus delicat sinon
    (voir la rubrique question-reponse de la RMS dans les numeros de 2006
  • pat4
    pat4
    lire
    "ce n'est pas tres difficile si..."
  • Gilles Benson0
    Gilles Benson0
    Siegel: topics in complex function theory (chez Wiley-interscience) demarre par ce sujet; sinon Remmert: theory of complex functions contient une construction des fonctions trigonométriques suivant Eisenstein page 335 et suivantes ce qui mène aussi à:
    Pi/sin(Piz) = 1/z + somme(n=1; infini, (-1)^n 2z/(z²-n²))
  • Sébatiduroc3
    Sébatiduroc3
    C'est marrant, intuitivement, j'aurais pensé à quelque chose comme ci-dessous pour la définition donnée par Pat. Avec bien sûr un raccordement un peu mieux travaillé, mais je me disais que ça devait être possible.

    (en rouge la courbe de la fonction candidate, en bleu la courbe de la dérivée)

    Cordialement,

    Sébatiduroc.5243
    5244
  • Sébatiduroc3
    Sébatiduroc3
    à Alain Delbreil :
    Vous noterez les efforts : je me suis limité à la partie nécessaire.

    [C'est parfait :) Mais si on se tutoyais, comme c'est tradition sur le forum ... AD]
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