déterminant matrice antisymétrique

e=mc3 · November 2006

Bonjour

Je m'intéresse au calcul du déterminant d'une matrice antisymétrique et plus particulièrement au fait qu'il est nul en dimension impaire. Oui je sais c'est un classique, mais tous les ouvrages que j'ai traitent ce problème à grands coups de produits tensoriel, extérieurs etc hors programme par rapport à l'agreg

POur moi ça ne coule pas de source. En fait je vois deux approches dans l'esprit de l'oral de l'agreg à ce problème, approches changeant suivant la leçon dans laquelle on souhaite parler de cela
1ère approche: manipulation de lignes et de colonnes pour finir par mettre en évident une colinéarité (des colonnes par exemples)
2ème approche: on manipule directement la définition du déterminant

$\sum_{\sigma \in S_n} \epsilon (\sigma) \Pi x_{i \sigma(i)}$

on a $x_{i \sigma(i)}=-x_{ \sigma(i)i}$ et un regroupement de termes de signes opposés devrait faire l'affaire, mais j'ai du mal à l'écrire.
Une récurrence est elle nécessaire?

SadYear · November 2006

Bonjour,

Voici une troisième approche (plus rapide me semble-t-il) : écris $P_A(X) = det(A-XI) = det(-A-XI) = (-1)^n.det(^tA + XI) = (-1)^n.P_A(-X)$ (où $P_A$ désigne le poly. car. de A).

Tu évalues en 0 et tu obtiens :

$ P_A(0) = det(A) = (-1)^n . det(A)$

Donc pour $n$ impair, on a nécessairement $det(A) = 0$.

En fait, je dois avouer que bidouiller dans la définition du déterminant avec les permutations ne me tente guère... Bon courage à ceux qui s'y lancent, et bravo à ceux qui s'en sortent.

SadYear

17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3.

egoroff · November 2006

Salut,

La méthode de SadYear est certainement ce qu'il y a de plus rapide. Pour le fun, avec la définition du déterminant (je note $\N_n=\{1,...,n\}$) :
$$\det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i \in \N_n} a_{i \sigma(i)}$$
$$\det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) (-1)^n \prod_{i \in \N_n} a_{\sigma(i) i}$$
Changement de variable $j=\sigma(i)$ dans le produit :
$$\det A = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (-1)^n \varepsilon(\sigma) \prod_{\sigma^{-1}(j) \in \N_n} a_{j \sigma^{-1}(j)}$$
Changement de variable $\tau=\sigma^{-1}$ dans la somme :
$$\det A = (-1)^n \sum_{\tau^{-1} \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau^{-1}) \prod_{j \in \N_n} a_{j \tau(j)}$$
Finalement : $\det A = (-1)^n \det A$.

LIautard4 · November 2006

Bonjour

C'est simple : det(M)=det(Mt)=det(-M)=(-1)^n.det(M)

Cordialement

e=mc3 · November 2006

Merci à vous

Sadyear

je suis bluffé par la simplicité de la démo. Dans le genre méga astuce qui dit mieux? Je ne pense pas que j'y aurais pensé si l'on ne m'avait pas donné un indice du genre "souviens toi on retrouve det A en developpant le polynome caractéristique" Ce se trouve dans n'importe quel livre de cours ou d'exo de prépas ce genre de chose? En tous les cas je n'ai pas souvenir de l'avoir vu dans le Gourdon, mais il est vrai que si le Gourdon c'est très bien, c'est écrit tout petit et ça manque d'un index avec les titres des exos.

egoroff
tu as été plus courageux que moi et surtout tu as pris la même piste que Sadyear alors que moi je voulais regrouper des termes pour montrer directement la nullité ce qui reste à priori un casse tête

et une manipulation sur les lignes ou les colonnes ça vous tente?

Sinon bien entendu il reste le cas de la caractéristique 2...

egoroff · November 2006

Hé hé bien vu Liautard ! Tu utilises les mêmes propriétés du déterminant que SadYear mais après tout pourquoi s'ennuyer avec le $-XI$...

Une manip sur les lignes, j'aimerais bien en voir une parce que ça doit être sacrément astucieux, mais là tout de suite je n'ai pas d'idée. En caractéristique deux, la matrice nulle et la matrice identité sont antisymétriques (dans ce cas c'est la même chose que symétrique) donc on ne peut rien dire en général quant à l'inversibilité des matrices antisymétriques.

e=mc3 · November 2006

Liautard
tu es bon pour le Guiness des records de la démo la plus courte!!

Vu que vous êtes très forts alors on va pousser le bouchon un peu plus loin et s'intéresser au cas où n est pair. Etes vous capables de trouver que le déterminant est le carré d'un polynome en les coefficients de la matrice (Pfaffien) avec autant d'élégance et de concision.

Archimède · November 2006

Si l'on utilise le corps $K=\Z/2\Z$, la matride $\hbox{I}_3$ est antisymétrique d'ordre impair, mais son déterminant n'est pas nul. Il faut donc supposer par exemple que les coefficients sont pris dans un corps de caractéristique $\not=2$.

Madec0 · November 2006

Bonjour ,

Autre méthode si A est à coefficients dans R :

on a qlq soit x < x ,A(x) > = -<A(x) ,x> soit 2 <x,A(x)> =0

on est en caractéristique nul , alors qlq soit x <x,A(x)> =0

si n est impair le polynome caractéristique est donc de degré impair , il admet alors au moins une racine réelle a ; soit alors Xa un vecteur propre associé à a , on a :

a < Xa ,Xa> =0 d'où a=0 car Xa vecteur propre est non nul .

et donc det A =0 ( car det A égal produit des valeurs propres ...)

Madec

Yop0 · November 2006

<<
2ème approche: on manipule directement la définition du déterminant
>>

Suit la formule avec les permutations...

Considérer cela comme la définition du déterminant est atroce (même si, caché sous la définition classique, il y a des considérations faisant intervenir ce genre de choses) !

Cela dit ce n'est que mon point de vue (mais à mon avis si tu prends cela comme définition à l'agreg tu auras à défendre ton point de vue).

Ritchie · November 2006

Bonjour,

> Yop : c'est ce que j'ai fait à l'agreg, et effectivement j'ai dû le défendre. Mais le jury a eu l'air d'apprécier...

Cordialement,

Ritchie

john_john0 · November 2006

Si $\bf K$ est un corps de caractéristique $2$, toute matrice antisymétrique d'ordre impair et dont les termes diagonaux sont nuls a un déterminant nul.
Pour ce faire, regarder le développeemnt du dét. à l'aide de permutations.

Cordialement, j__j

Archimède · November 2006

Soit $A$ une matrice antisymétrique réelle d'ordre $n$ pair.
En étudiant les valeurs propres, on montre aisément que $\hbox{det}(A)\geq 0$.

déterminant matrice antisymétrique

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Bonjour!

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