GL(E):SO(E) hors sujet?

Merci à vous tous.

Pour Pespi Adonis :
Quand tu écris "GL(E) et pas GL(n,R)", je suppose que tu voulais dire GL(n,K).
Personnellement dans une telle leçon, sachant que l'on est en dimension finie, j'identifie le groupe linéaire (il est vrai muni d'une base)à celui des matrices inversibles à coef dans le corps de base et je considère tantôt l'un tantôt l'autre point de vue au gré des besoins. Je ne pense pas que cela puisse déranger le Jury à partir du moment où l'on dit qu'il y a isomorphisme (dépendant de la base) et que l'on justifie dans son plan l'un ou l'autre point de vue (les deux pouvant très bien se mélanger). Si l'on se refuse de faire appel à toute notion de base y compris dans les résultats qui ne font pas appel à la notion de base mais dont la démo y fait nécessairement appel, non seulement on perd tout ce qui découle du calcul matriciel, mais il y a beaucoup de choses qui vont devenir difficiles voire impossibles à exposer.

Une vision purement intrinsèque peut paraître jolie, mais donne parfois lieu à des démonstrations, de mon point de vue plus difficiles à mémoriser, voire simplement à comprendre en première lecture, peut être parce qu'elles vont plus au fonds des choses et ne font pas appel à des "artifices" calculatoires (manipulations de matrice).

Par exemple la démonstration de Perrin p99 concernant la décomposition en produit de transvections et dilatations de manière purement algébrique (mauvais exemple en fait car démo pas intrinsèque puisqu'il utilise quand même une base dans sa démo...) est à rapprocher de celle de Gourdon p156 qui fait appel à du calcul matriciel. Je n'ai aucun problème avec cette dernière approche. Celle de Perrin nécessite que j'ai relu la démonstration juste avant.
Sinon je n'ai pas le souvenir d'avoir vu une démo de la décomposition en transvections (dilatations) qui ne fasse pas intervenir de base d'une manière ou d'une autre : est-ce seulement possible ?

Toujours concernant l'aspect intrinsèque je ne comprends pas trop ce que ningen veut dire en écrivant
"je mettrais en évidence le fait que si l'on ne fixe pas de base, on se retrouve avec des ellipsoïdes mais sans pouvoir décider lequel on prend pour "sphère unité"."

Pour le maudit :
Parler directement de Gl(n,Z) est effectivement hors sujet (structure de Z module et pas d'espace vectoriel)... Mais pas si tu le considères comme sous-groupe de GL(n,Q) comme le suggère visitor. Donc pour ne pas tomber dans le hors sujet il faut faire attention à la manière dont on amène la chose.

Pour ningen et les autres
Je n'ai aucun problème à trouver des sous-groupes et des propriétés ça ne manque vraiment pas. C'est sur les applications que la chose est plus difficile.
Pepsi Adonis semble suggérer de la géométrie :
"Il y a un autre aspect intéressant : c'est de voir les applications affines d'un espace affine modelé sur E, dont la partie linéaire est dans SL(E), on tombe sur quelque chose de subtil... "quel est le sous entendu ?