Inégalité

piRo0 · November 2006

Bonjour,

J'ai une suite complexe $(a_n)$ et j'aurais besoin de montrer que $\displaystyle{|\prod_{i=1}^n (1+a_i) - 1 | \leq \prod{i=1}^n (1 + |a_i|) - 1}$. Ca doit être un truc assez classique, alors j'ai essayé de bidouiller avec l'inégalité triangulaire, mais ça s'y prète plutôt mal à cause du signe $-$. Ca me semble aussi malaisé de passer au log à cause du $-1$ qui traine. Si quelqu'un à une idée...

Merci d'avance.

piRo0 · November 2006

Oups, erreur de LaTeX, excusez moi.

L'inégalité :

$\displaystyle{|\prod_{i=1}^n (1+a_i) - 1 | \leq \prod_{i=1}^n (1 + |a_i|) - 1}$.

Si un modérateur veut bien réparer ma bourde.

Encore merci.

SadYear · November 2006

Bonjour PiRo,

Ca a l'air de passer tout seul avec une récurrence... as-tu exploré cette piste ?

Yalcin · November 2006

Bonjour

Posons $p\left( n \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + a_i } \right)} $ et $g\left( n \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \left| {a_i } \right|} \right)} $ pour alléger les écritures.

Initialisation : à toi de le faire

Hérédité : supposons qu'on ait $\left| {p\left( n \right) - 1} \right| \leq g\left( n \right) - 1$

Déjà en utilisant la définition de p(n) et l'I.T on obtient :

$\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| = \left| {p\left( n \right)\left( {1 + a_n } \right) - 1} \right| = \left| {p\left( n \right) - 1 + a_n p\left( n \right)} \right| \leqslant \left| {p\left( n \right) - 1} \right| + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right|$

Donc $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| \leqslant \left| {p\left( n \right) - 1} \right| + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right| \leqslant g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right|$

Comme $\left| {1 + a_i } \right| \leqslant \left( {1 + \left| {a_i } \right|} \right) \Rightarrow \prod\limits_{i = 1}^n {\left| {1 + a_i } \right|} \leqslant \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \left| {a_i } \right|} \right)} \Rightarrow \left| {p\left( n \right)} \right| \leqslant g\left( n \right)$

Donc $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| \leqslant g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times \left| {p\left( n \right)} \right| \leqslant g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times g\left( n \right)$

Or $g\left( n \right) - 1 + \left| {a_n } \right| \times g\left( n \right) = g\left( n \right)\left( {1 + \left| {a_n } \right|} \right) - 1 = g\left( {n + 1} \right) - 1$

D'où $\left| {p\left( {n + 1} \right) - 1} \right| \leqslant g\left( {n + 1} \right) - 1$

Donc la propriété que j'ai oublié de préciser (que tu peux préciser toit même) est vraie pour le rang n+1.

Donc la propriété est vraie poru tout n ,etc...

Cordialement Yalcin

oumpapah2 · November 2006

Bonsoir

indication

" detricoter, majorer ,retricoter"

si ça ne suffit pas je le ferai pour n=3 pour expliciter la methode..

Oump.

Yalcin · November 2006

initialisation : on a bien sur |a_1|=|a_1| , donc |a_1|<=|a_1| , d'où :
|p(1)-1|<=g(1)-1
, d'où la propriété est vraie pour n=1 :-)

Philou le cocker · November 2006

lol , j adore l intervention de oumpapah ... ca me rappelle mon premier prof a l université ... peu de mots employés mais avec une grande efficacité !

Cocker admiratif

piRo0 · November 2006

Oups excusez moi, j'ai été loin de mon pc pendant quelques temps.

Ma flemingite aigue m'avait fait oublier la possibilité de la récurrence qui marchait bien ici. Merci Yalcin & SadYear.

Oump, tu as une méthode sans récurrence ? Je dois t'avouer que le tricot n'est pas vraiment mon truc...j'ai essayé de regarder un peu ce que tu voulais dire mais ça reste assez obscur pour mes yeux de profane

Si tu pouvais effectivement détailler le cas $n=3$, ça m'aiderait peut-être.

Merci encore.

P.S. Suis-je le seul chez qui le forum est dramatiquement lent ?? Que ce passe-t-il? (Il me faut environ 3 minutes pour afficher la première page du forum, et guère moins à chaque changement de page).

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