Artihmétique et Géométrie

Les noeuds situés sur ]OM] sont, d'après le théorème de Thalès des (ka;kb), c'est-à-dire des (p;q) tels que p/q=a/b. Considérons que A/B soit la forme irréductible de a/b, il te faut montrer que les noeuds de ]OM] sont les (kA;kB) pour k entier compris entre 1 et D...

Quant aux points les plus proches de (OM), ils sont situés sur des droites d'équation bx - a y = c où c est, en valeur absolue, minimal. Pense à Bézout.

Message déplacé, dû à un doublon de l'auteur de la question.
Alain

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Auteurs: borde (--.abo.wanadoo.fr)
Date: 11-01-06 23:58

Pour le 1°, on peut raisonner ainsi :

On suppose que $ M \not = O$. Soit $ d =$$ \mbox {pgcd} (a,b)$ et on écrit $ a=da'$ et $ b=db'$ de sorte que $ \mbox {pgcd} (a',b') = 1$. L'équation de la droite $ (OM)$ s'écrit $ \displaystyle {y = \frac {b'}{a'} x}$. Ainsi, un point $ N (\alpha, \beta)$ est un noeud sur $ ]OM]$ si et seulement si $ \alpha, \beta \in \mathbb{N}^{*}$, $ \alpha \leqslant a$ et $ a' \beta = b' \alpha$. Ainsi, $ a' \mid \left ( b' \alpha \right )$, et comme $ \mbox {pgcd} (a',b') = 1$, le théorème de Gauss fournit $ a' \mid \alpha$. On est donc ramené à compter le nombre de multiples (non nuls) de $ a'$ qui sont $ \leqslant a$ : on sait qu'il y en a $ \displaystyle { \left [ \frac {a}{a'} \right ] = d}$ (où, comme d'habitude, $ [t]$ est la partie entière de $ t$).

La seconde question me paraît moins claire, sauf si quelque chose m'échappe : s'agit-il des points entiers proches de la droite $ (OM)$ ?

Borde.

Tu y es...D'une manière générale, soit $x \geqslant 1$ réel et $a \in \N^{*}$. On veut dénombrer les multiples de $a$ qui sont $\leqslant x$. Soit $m$ un tel multiple. On a donc : $m=ka$ avec $k \geqslant 1$ entier et $m \leqslant x$, ce qui donne $1 \leqslant k \leqslant x/a$. Autrement dit, on a ramené notre problème initial à celui, plus simple, de compter les entiers de l'intervalle $[1,x/a]$ : il y en a $\displaystyle { \left [ \frac {x}{a} \right ]}$.

Ta seconde question m'a semblé être mal posée.

En revanche, ton exercice m'a inspiré une troisième question (niveau L1/L2) : avec tes notations, soient les points $A(a,0)$ et $M(a,b)$, et l'on note toujours $d = \mbox {pgcd} (a,b)$. Montrer que le nombre $\mathcal {N}$ de points {\bf entiers} appartenant à l'interieur du triangle rectangle $OAM$ vaut : $$\mathcal {N} = \frac {1}{2} (ab - a - b - d) + 1.$$

Borde.

lire (a-1)(b-1) et non (p-1)(q-1) ; merci pour la correction Alain.