question sur les Groupes

Ariane
Ariane
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Une question toute simple sur les Groupes...

Je voulais savoir si en effectuant la même opération sur les deux membres d'une égalité on conserve l'égalité,
par exemple :
Si on a x*y=y*x
a-t-on le droit d'écrire :
(x*y)*z= (y*x)*z ... et si oui pourquoi ? ... Je suppose que c'est alors la définition d'une loi "régulière" ..?

A ce moment là pourquoi dans certaines démos, effectue-t-on une "multiplication" (à gauche et à droite de l'équation) par un élément symétrique sans changer l'égalité ...
Par exemple :
(a*b)*u=e , donc
a'*(a*b)*u = a'*e (avec a' symétrique de a)
Je suppose que c'est faisable en raison du caractère particulier du "symétrique" ???

Merci d'avance pour vos réponses :)

Réponses

  • SadYear
    SadYear
    Bonjour,

    Te poses-tu la même question lorsque tu fais :

    "6 = (3 * 2) donc 4 * 6 = 4 * (3 * 2)" ?

    En gros : une égalité reste une égalité. :)
  • Eric Lafosse1
    Eric Lafosse1
    Aucun problème à partir du moment où tu comprends que l'égalité est l'identité, c'est-à-dire que les deux memebres de l'égalité sont un seul et même objet écrit de deux manières différentes.
    C'est comme si tu disais " sachant que ma mère est la femme de mon père, pourquoi ai-je le droit de dire que le frère de ma mère est le frère de la femme de mon père ? "

    Si x = y alors "x" et "y" sont deux dénominations de la même chose donc toute opération faite sur l'un aboutira au même résultat que la même faite sur l'autre... puisque tu fais deux fois la même chose...
  • Ariane
    Ariane
    D'accord déjà merci pour vos réponses, mais je comprends mieux la deuxième que la première ...
    Car bien sûr je parle d'une Loi de de composition interne en général, pas forcément de la multiplication

    Je suppose allors que j' "interprétais" mal la notion de Loi "régulière" :
    a*x= a*y implique x = y ...
    donc...
    Si je comprends bien ...?
    la réciproque de la propriété de "régularité" d'une Loi est toujours vraie :
    si a = b , a*x = b*x

    !!
    :)
  • Bruno
    Bruno
    Bonsoir Ariane.

    Pour paraphraser ce que tu écris dans ton dernier message, la relation :$$(a = b) \Longrightarrow (a*x = b*x)$$résulte du fait qu'une loi de composition interne dont tu fixes un argument est une application ; donc, à un objet désigné par les noms $a$ et $b$, elle associe un seul objet.

    La régularité, signifie que la-dite application est {\it injective} ce qui est plus contraignant.

    Pour revenir à ce qu'a écrit Eric Lafosse, je t'invite à interpréter une égalité $a = b$ comme ; "les noms $a$ et $b$ désignent le même objet" (sous-entendu : du discours).

    Bruno
  • Ariane
    Ariane
    OK merci...
    C'est baucoup plus clair maintenant
    :))
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