groupe symétrique

Claracat67
Claracat67
dans Algèbre
Bonjour à tous les matheux (matheuses aussi :P ).

J'ai un petit exercice avec une notion que j'ai du mal à assimiler encore: les sous groupe engendré.
Alors voilà, il faut montrer que Sn (groupe symétrique d'ordre n) est engendré par:
- les transpositions {(1,i)| 2=<i=<n} (avec l'indication (1i)(1j)(1i) = (ij) )
- la transposition {(1,2)} et le cycle {(2,3,...n)} (je crois avoir trouvé)
- les transpositions {(i,i+1)|1=<i<n} (je crois aussi que celui là c'est bon)
et enfin - la transposition {(1,2)} et le cycle {(1,2,...,n)}.

Voilà c'est tout :P, merci pour votre coup de pouce. :)

Réponses

  • Eric Lafosse1
    Eric Lafosse1
    Une méthode consiste à en prouver la première assertion, et ensuite de prouver que les autres cas engendrent les (1;i)...
  • abdelbaki.attioui1
    abdelbaki.attioui1
    On sait que $S_n$ est engengré par les transpositions.
    Mais (ij)=(1i)(1j)(1i) donc les tanspositions {(1i) / i de 2 à n } engendre $S_n$
  • Claracat67
    Claracat67
    Ah oui voilà d'accord j'avais pas pensé à l'enchainement des assertions merci :)
    J'ai encore une question sur laquelle je bute, d'un autre exo, comment montrer que D(2n) (=groupe diédral d'ordre 2n) ets isomorphe à un sous groupe de Sn ? Et ensuite dans quel cas on a isomorphisme entre D(2n) et Sn directement ? (sur un autre forum ils parlaient du cas n<4 car si n>=4 ça ne marche plus mais je ne vois pas pourquoi)
    Merci encore pour vos réponses !! :)
  • Guimauve
    Guimauve
    Salut

    D(2n) est le groupe des isométries du plan qui laissent invariant un polygone régulier à n sommets. En notant 1,...,n les sommets, on peut identifier une telle isométrie à une permutation de {1,...,n}. Je te laisse vérifier que cette identification est un monomorphisme de groupes.

    Pour qu'on ait isomorphisme entre D(2n) et Sn il faut que ces deux groupes aient même ordre, donc que 2n=n! ce qui donne n=3. Réciproquement tu vérifies que D(6) et S3 sont bien isomorphes.

    A+
  • Alp
    Alp
    Les exos de Mme Audin ont toujours autant de succès à ce que je vois !
  • Claracat67
    Claracat67
    LOL oui bein vu :) c'est bien de Mme Audin tu es passé par là aussi ?
  • Claracat67
    Claracat67
    Sinon merci beaucoup Guimauve pour ton aide, j'y suis arrivée!! et grâce à toi, alors merci encore! Bonne soirée.
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