Inégalité de Poincaré

Utilise le développement en séries de Fourier.

Bonjour ,

Dans l'avant dernier message d'All, je ne vois pas d'où sort la première inégalité ?
Si quelqu'un voulait bien préciser un peu ce serait sympa !
Merci
Madec

Je me lance (et sans filet).

\begin{equation*}
\lvert f(x)\rvert^2=\left\lvert\int_0^x f'(t)dt\right\rvert^2\leq
\left(\int_0^x \lvert f'(t)\rvert dt\right)^2\leq
x\int_0^x \lvert f'(t)\rvert^2 dt.
\end{equation*}
D'où, en posant $F(x)=\int_0^x \lvert f'(t)\rvert^2 dt$, on a $F'(x)=\lvert f'(x)\rvert^2$ et
\begin{equation*}
\int_0^1\lvert f(x)\rvert^2dx\leq\int_0^1xF(x) dx=\left.\frac{x^2}{2}F(x)\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^2}{2}\lvert f'(x)\rvert^2dx=\frac{1}{2}\int_0^1 \lvert f'(x)\rvert^2 dx-\int_0^1\frac{x^2}{2}\lvert f'(x)\rvert^2dx\leq\frac{1}{2}\int_0^1 \lvert f'(x)\rvert^2 dx.
\end{equation*}

Les conditions $f(0)=f(1)=0$ sont donc inutiles et on peut généraliser avec $a>0$ :
\begin{equation*}
\int_0^a\lvert f(x)\rvert^2dx\leq\frac{a^2}{2}\int_0^a \lvert f'(x)\rvert^2 dx.
\end{equation*}

heu.. eric plutot que grand wazoo

Petite remarque culturelle: bien que la condition $f(1)=0$ soit inutile, on la mentionne parce que l'inégalité de Poincaré est l'une des pierres de base des espaces de Sobolev, on l'utilise fréquemment pour utiliser la norme $\sqr{\int f'^2}$ dans $H^1_0$ (sous espace de $H^1$ dont les fonctions vérifient $f(0)=f(1)=0$ ) au lieu de la norme $\sqrt{\int f'^2+\int f^2}$.

Il y a plusieurs inégalités de ce genre qui portent plus ou moins le même nom.

1) Poincaré pur et dur : $\Omega$ ouvert de $\R^n$ borné dans une direction, disons une bande de largeur $a$. Alors pour tout $u\in H^1_{0}(\Omega)$,
$$\int_{\Omega}u^2\,dx\le a^2\int_{\Omega}\|\nabla u\|^{2}\,dx.$$

2) Poincaré un peu moins pur et dur : $\Omega$ ouvert de $\R^n$ borné régulier, $\Gamma$ un ouvert non vide de $\partial\Omega$. Il existe une constante $C(\Omega)$ telle que pour tout $u\in H^1(\Omega)$ tel que $\gamma_{0}(u)=0$ sur $\Gamma$,
$$\int_{\Omega}u^2\,dx\le C(\Omega)\int_{\Omega}\|\nabla u\|^{2}\,dx.$$

3) Pareil dans $W^{1,p}(\Omega)$.

4) Poincaré-Wirtinger : $\Omega$ ouvert de $\R^n$ borné régulier. Il existe une constante $C(\Omega)$ telle que pour tout $u\in H^1(\Omega)$
$$\int_{\Omega}(u-\bar u)^2\,dx\le C(\Omega)\int_{\Omega}\|\nabla u\|^{2}\,dx,$$
où $\bar u$ est la moyenne de $u$ sur $\Omega$.

Et d'innombrables variantes.

Ce qui est intéressant, c'est que pour 1), l'ouvert est absolument quelconque, si ce n'est qu'il est inclus entre deux hyperplans parallèles, alors que pour 2), 3), 4) il doit avoir une certaine régularité (en plus d'être borné) et il y a des contre-exemples avec des ouverts irréguliers. En dimension 1, la question de la régularité des ouverts ne se pose pas, bien sûr.

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question. 2) est plus fort que 1) au sens où tu demandes moins de choses sur la valeur des fonctions au bord. Elles doivent seulement être nulles sur un morceau assez consistant du bord. Mais par contre, on n'a pas d'idée précise sur la valeur de la constante en fonction de la forme de l'ouvert (enfin peut-être que si, mais pas de truc simple), l'ouvert doit être borné et régulier, disons lipschitz. Alors que pour 1), l'ouvert est seulement borné dans une direction. Il peut être non borné, avoir un bord aussi chaotique que tu veux. Et tu as une constante explicite.

Sinon, c'est vrai que pour un ouvert régulier $H^1_0$ est le noyau de la trace. Mais de toutes façons, pour définir la trace, il faut déjà cette régularité du bord.