Norme matricielle et rayon spectral

Igor2 · October 2006

Bonjour
est ce que la norme d'une matrice carrée est égale au rayon spectral dans le cas où la matrice est diagonalisable ?
Si oui, comment le prouve t on ?
Merci d'avance, bonne journée à tous
Igor

Madec0 · October 2006

Bonjour ,

Prendre un contre exemple : Ainsi la matrice A carré d'ordre 2
1 0
1 2
son rayon spectral est 2 et si on prend la norme N telle que

N( M) = sup (Sigma |mij|) sup sur i indice de ligne et Sigma sur j indice de colonne

alors N(A)=3

Madec

nicolas.patrois · October 2006

Il n’y a pas qu’une seule norme définissable sur les matrices carrées de taille donnée, mais toutes sont équivalentes (on est en dimension finie).

Igor2 · October 2006

et n'y a t il pas une norme vectorielle qu'on pourrait définir et à laquelle on subordonnerait notre norme matricielle afin d'obtenir l'égalité voulue ? (à savoir norme matricielle de A = rayon spectral de A pour toute matrice carrée A diagonalisable)

merci

grandwazoo · October 2006

Une idée : on peut utiliser la formule du rayon spectral
$$\rho(A)=\lim \|A^n\|^{1/n}$$
où $\|.\|$ est la norme subordonnée de $A$. On sait aussi que $\|A\|$ est aussi égal à :
$$\|A\|=\max\{|\lambda|\,,\,\lambda\in\sigma(A)\}$$
où $\sigma(A)$ est le spectre. Si $A$ est diagonalisable, on voit que que les valeurs propres de $A^n$ sont les puissances $n$-ièmes des valeurs propres de $A$, et il est alors facile de conclure.

pat4 · October 2006

alors la formule se deduit pour toute matrice en utilisant la densite des matrices diagonales et la "continuite coeff-valeurs propres" ....
puis, toutes les normes etant ici equivalentes on en deduit que la formules est vraie pour toute norme sur $M_n(\mathbb C)$

sigma=infini · October 2006

cette formule est valable dans les Hilbert

grandwazoo · October 2006

Et on n'a en fait pas besoin de supposer la diagonalisabilité, il suffit que l'opérateur en question soit normal.

corentin · October 2006

La diagonalisabilité est moins forte que le fait d'être normal.
Normal=diagonalisable dans une base orthonormée non?
Par ailleurs il me semble que Madec a déja montré que ce résultat est faux, car son raisonnement marche encore pour des normes subordonnées.
(mais il me semble que c'est effectivement vrai pour un opérateur normal)

Aleg · October 2006

Effectivement,
si $A$ est normale alors sa norme spectrale
$$\|A\|_2=\sqrt{\rho(A^*A)}$$
n'est autre évidemment que son rayon spectral $\rho (A)$.
Et il est connu que normale $\Rightarrow $ diagonalisable.

Par contre, pour la deuxième question d'Igor : peut-on construire une norme matricielle qui coïnciderait avec le rayon spectral pour les matrices diagonalisables ?
Intuitivement je répondrai non car le rayon spectral n'a pas en général les propriétés d'une norme. Par exemple, on peut avoir :
- $\rho (A)=0$ avec $A\neq 0$.
- $\rho(A+B)>\rho(A)+\rho(B)$.

Ceci dit, il est vrai que :
- pour toute norme matricielle, $\rho (A)\leq \|A\|$.
- pour toute $A$ et tout $\varepsilon >0$, il existe une norme matricielle telle que $\rho (A)\leq \|A\|\leq \rho(A)+\varepsilon $ (et donc $\rho (A)=\inf \|A\|$, l'inf étant pris sur l'ensemble des normes matricielles $\|\hphantom{A}\|$).

lamine2 · November 2011

-je voudrais savoir dans quel cas nous avons $\rho(A+B)>\rho(A)+\rho(B)$.

remarque · November 2011

Par exemple $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ et $B==\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$.

john_john · November 2011

Bonjour,
si l'on choisit $A=\begin{pmatrix}0&0\\a&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&-a\\0&0\end{pmatrix}$, avec $a$ réel, ces deux matrices ont un rayon spectral égal à $1$ et sont diagonalisables, alors que le rayon spectral de leur somme est $\sqrt{1+a^2}$, qui est aussi grand que l'on veut.

De ce fait, la fonction rayon spectral définie sur l'ensemble des matrices diagonalisables ne s'étend pas en une norme sur l'e.v. des matrices.

Cordialement, j__j

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