Etude de suite

MamzelleBulle0
MamzelleBulle0
dans Analyse
Bonjour,
Soit Un=1+1/2+...+1/n - ln(n) (n entier >0)
Montrer que Un est décroissante et minorée puis conclure.
Voilà ce que j'ai fait:
On considère la fonction f(n)= $\sum_{k=1}^{n}$(1/k) - ln(n)

sa dérivée est f'(n)= $\sum_{k=1}^{n}$(-1/k²) - (1/n) , elle est donc strictement négative.
Donc f est décroissante donc la suite Un est décroissante.

Par contre je ne vois pas trop comment montrer qu'elle est minorée, surement en cherchant la limite de la fonction mais je n'y arrive pas à cause de la somme.

Ensuite pour conclure on doit surement utiliser le fait qu'une suite décroissante minorée converge vers sa borne inférieure.

Merci

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    On nage en plein délire...
  • nathan_g
    nathan_g
    Dis plus posément, on ne vois pas comment il est possible de dériver une fonction qui prend ses valeurs sur un ensemble discret.

    L'écriture propre consiste à comparer f(n+1) à f(n) pour la décroissance, en calculant l'écart des deux valeurs et en trouvant son signe.
  • egoroff
    egoroff
    Dit plus posément, non seulement nathan a raison et on ne dérive pas une suite, mais si on le fait, il faut au moins être cohérent, et si on dérive une fonction de n on ne dérive pas par rapport à k !

    La technique de différence finie proposée par nathan pour montrer la décroissance est la bonne, c'est l'analogue discret de la dérivation. Pour la minoration je te propose de montrer que la suite est positive, en comparant des intégrales (le mieux pour résoudre cet exo est de faire un dessin avec l'hyperbole d'équation y=1/x, l'aire correspondant à ln(n) et celle correspondant à la somme des 1/k pour k=1,...,n).
  • MamzelleBulle0
    MamzelleBulle0
    Je suis désolée c'était en effet plutôt incohérent.
    <BR>
    <BR>Je tente à nouveau:
    <BR>
    <BR>la différence donne 1/(n+1) + ln(n/(n+1))
    <BR>
    <BR>Pour étudier son signe, je pose t un réel (je sais pas si j'ai le droit de prendre un réel mais je pense que ça pose pas de problème) tel que 0<t<n+1 <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/12/98913/cv/img1.png&quot; ALT="$ \Rightarrow$"></SPAN> 1/(n+1) < 1/t <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/12/98913/cv/img1.png&quot; ALT="$ \Rightarrow$"></SPAN> <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="106" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/12/98913/cv/img2.png&quot; ALT="$ \int_{n}^{n+1} 1/(n+1)$"></SPAN>dt < <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="72" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/12/98913/cv/img3.png&quot; ALT="$ \int_{n}^{n+1} (1/t) $"></SPAN>dt <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/12/98913/cv/img1.png&quot; ALT="$ \Rightarrow$"></SPAN> 1/(n+1) < ln((n+1)/n)
    <BR>donc la différence est négative donc (Un) est décroissante.
    <BR>
    <BR>Par contre pour la minoration je vois pas comment comparer les intégrales, ni comment faire l'intégrale de la somme 1+1/2+1/3+...+1/n.
    <BR>Du coup je sais pas du tout comment démarrer pour montrer que la suite est positive !
    <BR>
    <BR>Merci<BR>
  • Glat0
    Glat0
    Dessine l'hyperbole d'équation y=1/x.
    Interprete ln(n) comme une certaine aire et 1+1/2+...+1/n comme une autre aire (des rectangles par exemple)
  • lemathe3
    lemathe3
    Si tu veux montrer la convergence de la somme qui définie la constante d'Euler, je veux juste rappeler que $C=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i}+ln(n)$ et non$C=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}+ln(n)$ . Et si c'est le cas on écrit encore$C$ comme $C=\sum{i=1}^{n-1} \frac{1}{i}-ln(\frac{i+1}{i}) et la convergence se déduit en faisant un bon developpement limité.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Si tu veux montrer la convergence de la somme qui définie la constante d'Euler, je veux juste rappeler que $$C=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i}+\ln(n)$$ et non $C=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i}+\ln(n)$. Et si c'est le cas on écrit encore $C$ comme $$C=\sum{i=1}^{n-1} \frac{1}{i}-\ln\left(\frac{i+1}{i}\right)$$ et la convergence se déduit en faisant un bon développement limité.
  • borde
    borde
    Lemathe,

    J'espère que ton $C$ ci-dessus ne représente pas la constante d'Euler (habituellement notée $\gamma$), sinon il y a évidemment quelque chose qui ne va pas dans ce qui est écrit dans ce message.

    Mais j'ai sans doute mal compris !

    Borde.
  • lemathe4
    lemathe4

    Je voulais écrire $\sum{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}-ln(\frac{i+1}{i}$ qui est bien convergente si on applique bien les propriétés de Riemann sur les séries.
    Pour le problème de MamzelleBulle, il faut alors remarquer que sa suite est la constante d'euler à laquelle on ajoute $\frac{1}{n}$ et on a le résultat.
    Merci bien
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