intégration
Je suis totalement bloquée sur une question d'un DNS. Je ne suis pas sur que ça soit difficile mais j'aimerais beaucoup un petit coup de pouce s'il vous plait.
On considère l'aplication $\Gamma$ : [O,+$\infty$[ $\longrightarrow$ $\R$ définie , $\forall t \in [O,+\infty[$, par :
$\Gamma(t)=\frac{sin(t)}{t}$ si t$\neq$ 0
et $\Gamma(t)$=1 si t=0
et on considère pour tout entier n $\geq$ 1 : $K_n$ $\int_{1}^{\infty} ((\Gamma(t))^n dt$
Montrer que pour tout entier n $\geq$ 2, l'intégrale $K_n$ est convergente
Etablir pour tout entier n $\geq$ 2 : $|K_n|$$\leq$ $\frac{1}{n-1}$
merci
Anae
On considère l'aplication $\Gamma$ : [O,+$\infty$[ $\longrightarrow$ $\R$ définie , $\forall t \in [O,+\infty[$, par :
$\Gamma(t)=\frac{sin(t)}{t}$ si t$\neq$ 0
et $\Gamma(t)$=1 si t=0
et on considère pour tout entier n $\geq$ 1 : $K_n$ $\int_{1}^{\infty} ((\Gamma(t))^n dt$
Montrer que pour tout entier n $\geq$ 2, l'intégrale $K_n$ est convergente
Etablir pour tout entier n $\geq$ 2 : $|K_n|$$\leq$ $\frac{1}{n-1}$
merci
Anae
Réponses
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Il suffit de majorer grossièrement $|sin(t)|$ par $1$ dans ton intégrale.
-
a oui merci, et pour la deuxième question, la majoration de la valeur absolue?
-
moi je trouve que |$K_n$|= lim ($\frac{(-a)^{1-n}}{n-1}$+$\frac{1^{1-n}}{n-1}$
Cette limite n'est pas égale a celle recherchée
Bonne soiré a tous
Anae -
Je viens de me rendre compte de mon erreur, je ne considérais tout simplement pas la puissance négative de a. Désolé pour cette question sans fondement ...
Une autre question me viens pourtant a l'esprit : comment puis-je démontrer que $\Gamma$ est stictement positive et strictement décroissante sur [0,1]?
Merci d'avance
Anae -
Avec une dérivation toute simple de $\Gamma$.
Une série est divergente, alors nous pouvons faire quelque chose avec elle.
-+- Oliver Heavyside -+-The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
bah... $\Gamma'$(t) = \frac{t cos(t) -sin (t)}{t^2}
donc $\Gamma'$(t) est du signe de t cos(t) -sin (t)
Mais je ne vois pas comment trouver le signe de cette expression :$
Merci d'avance
Anae -
$\Gamma'$(t) = $\frac{t cos(t) -sin (t)}{t^2}$\\
donc $\Gamma'$(t) est du signe de t cos(t) -sin (t)\\
Mais je ne vois pas comment trouver le signe de cette expression \\
Merci d'avance \\
Anae
PS désolé l'autre message n'a pas marché -
Bah... $\Gamma'(t) = \frac{t \cos(t) -\sin (t)}{t^2}$ donc $\Gamma'(t)$ est du signe de $t \cos(t) -\sin (t)$
Mais je ne vois pas comment trouver le signe de cette expression
Merci d'avance
Anae -
Désolé mais c est pourtant simple comme bonjour,
On observe que
\[
\left|K_{n}\right|\leq \int_{1}^{\infty}\left|\Gamma\left(t\right)\right|^{n}d t\leq \int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{n}}d t.
\]
Comme $n\geq 2$, il est évident que
\[
\left|K_{n}\right|\leq\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{n}}d t -
Remplacer $\frac{1}{m^{n+1}}$ par $\frac{1}{m^{n-1}}$.
-
bonjour
la majoration va de soi et |kn| est inférieure à 1/(n-1)
pour ce qui est de l'intégrale sur l'intervalle complet R+ c'est-à-dire
intégrale de 0 à l'infini de (sint/t)^n.dt on connaît quelques résultats numériques:
n=1 on obtient pi/2 (intégrale de Dirichlet)
n=2 on obtient pi/2
n=3 on obtient 3pi/8
n=4 on obtient pi/3
n=5 on obtient 115pi/384
n=6 on obtient 11pi/40
n pair le résultat est lié aux nombres d'Euler aperçus avec les séries de Riemann
cordialement -
bonjour Jean,
Connais-tu la relation donnant:
$\int_{0}^{+\infty}[Sin(t)/t]^n dt$ en fonction de $n$?
et où en trouver la démonstration?
merci beaucoup -
math : Que vient faire le théorème de convergence monotone là-dedans ?
-
Ben on intègre une fonction positive entre 1 et l infini , donc on choisit
$f_{n}\left(t\right)=\frac{1}{t^{n}}\chi_{\left[1,m\right]$ avec $m\geq$, pour avoir un passage à la limite proprement justifié. -
Oui tu as raison, désolé... Mais ce que je voulais dire c'est que vu l'énoncé, je pense qu'Anae est en train d'étudier l'intégrale de Riemann et le passage à la limite est plutôt justifié par la définition d'un intégrale généralisée.
-
Ben on intègre une fonction positive entre 1 et l'infini, donc on choisit
$f_{n}\left(t\right)=\frac{1}{t^{n}}\chi_{\left[1,m\right]}$ avec $m\geq 1$, pour avoir un passage à la limite proprement justifié. -
bonsoir bs
à ma connaissance il n'y a pas de formule générale donnant:
intégrale sur R+ de (sint/t)^n.dt ou encore
somme pour k variant de 1 à l'infini de (sink/k)^n
par contre entre les deux résultats dépendant de n il existe une relation simple
cordialement -
Bonjour.
je vais peut etre dire une betise mais le sinus cardinal c'est la transformée de Fourier d'une fonction porte.
alors pour calculer $K_n$ on pourrait utiliser le produit de la porte avec elle meme n fois. -
bonjour
merci Jean, j'espérais qu'une fois encore tu apportes solution et référence...
Un autre Jean , expert en intégrales, rode également sur ce forum: peut-être amènera-t'il la solution ?
Gecko, effectivement pour calculer ce qu'Anaé appelle $K_n$,en utilisant à répétitions ,les transformées de Fourier des fonctions porte centrée et triangle centré, on trouve le résultat pour n=2,3,4.
Je ne suis pas allé plus loin, et ne sais pas s'il est possible de généraliser pour n quelconque avec cette méthode ou avec une autre.
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Bonjour!
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