totale discontinuité, Cantor

baleine
baleine
dans Topologie
Bonjour,

Je ne trouve pas sur internet de liens suffisamment intéressants sur le sujet, on a le résultat suivant :

"si un espace est métrisable, séparable et totalement discontinu, il admet un plongement dans l'espace de Cantor" (si je ne me trompe pas)
, idem en remplaçant "séparable" par compact

mais d'où cela vient-il? Mystère...


dans le même genre (même si ça m'intéresse moins) :

- tout espace ? est l'image continue de l'espace de Cantor
- tout espace métrique séparable parfait (sans point isolé) est homéo à Cantor...



(Plus ou moins en lien avec cette question, la compactification par les bouts (ou de Freudenthal) car dans mes papiers on suppose implicitement que l'espace des bouts d'un espace topo peut être plongé dans le Cantor, mais il doit manquer des hypothèses ?

Réponses

  • alekk
    alekk
    Il faut comme même rajouter des hypothèses de compacité je pense (l'image d'un compact par une fonction continue est compacte)
  • baleine
    baleine
    Oui je précise ce que je veux savoir en priorité :

    1. Pourquoi "si un espace est métrisable, séparable et totalement discontinu, il admet un plongement dans l'espace de Cantor"
    (idem avec compact au lieu de séparable)

    2. Pourquoi et dans quels cas l'espace des bouts d'un espace topo (disons localement compact) peut se plonger dans le cantor?


    Pour ceux à qui cela dit quelque chose, la classification des surfaces non compactes se fait selon leur espace de bouts (il y en a autant, par genre donné, que des sous trucs du Cantor en gros)
    (on a aussi le théorème de Hopf sur les groupes de type fini : ils ont zéro, un, deux ou un Cantor de bouts)
    Ces deux résultats supposent que l'on plonge l'espace des bouts dans Cantor mais pourquoi peut-on le faire ? ...
  • gnome
    gnome
    Les deux résultats que je connais sont les suivants :
    - Un espace métrique compact totalement discontinu et sans point isolé est homéomorphe à l'espace de Cantor (dont une réalisation peut être $\{0,1 \}^\N$, muni de la topologie produit, où chaque facteur est muni de la topologie discrète).
    - Si $X$ est un espace métrique compact, alors il existe une surjection continue de l'espace de Cantor sur $X$.

    Ces deux résultats ont des preuves assez techniques mais relativement accessibles. Il faut d'abord montrer que dans un espace métrique compact totalement discontinu, tout point admet une base de voisinages à la fois ouverts et fermés (je ne connais pas les hypothèses minimales pour qu'un espace vérifie ça, mais dans le cas qui nous intéresse, c'est vrai). Ensuite, pour la première preuve, il faut utiliser des lemmes de recouvrement, couper ton espace en petits bouts de rayon disons $1/2^n$, et construire au fur et à mesure une application de X dans $\{0,1\}^\N$. (c'est dit très grossièrement, et il y a plein de détails techniques en vrai ; une preuve doit pourvoir se trouver dans de Wagschal, de Topologie et Analyse fonctionnelle, au moins en exo détaillé).

    Quand à ta première propriété (plongement d'un espace dans le Cantor), elle me semble étrange, l'image continue d'un connexe étant connexe, une boule de $\R^n$ serait envoyée sur un point ... Ce qui me choquerait moins (mais je n'ai aucune idée si c'est vrai ou pas), ça serait "un espace métrique à base dénombrable de voisinages (ou séparable, puisqu'il est métrique, c'est équivalent), et totalement discontinu, admet un plongement continu dans le Cantor.
    (ça a une tête à être vrai, quand même ...)
  • pat4
    pat4
    d'un autre cote, tu as le th. de Alexandroff-hausdorff : "tout espace metrique compact est image continue de l'ensemble de Cantor"
    avec des super applications :
    -- existence d'une surjection continue de $[0,1]$ sur $[0,1]^d$
    -- interpolation de suite bornee : il existe une fonction $f\in C(\mathbb R)$ telle que pour tout suite $(x_n)\in [-1,1]^\mathbb Z$ il existe un reel a tel que $f(a+n)=x_n$ pour tout $n$....
    -- le theoreme de banach-mazur : tot banach separable est lineairement isometrique a un sous-espace de $C([0,1])$....
  • corentinpasloggé
    corentinpasloggé
    Je remonte ce sujet parce que j'ai découvert récemment que dans le Wagschal d'analyse fonctionnelle il y a beaucoup de choses (bien) faites sur l'ensemble de Cantor en exos corrigés.
    <BR>Entre autres que tout espace métrique compact se plonge dedans et qu'il est homéomorphe à tout métrique compact totalement discontinu sans points isolés.<BR>
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