Série double convergente ?
Un élève de spé m'a donné un exo qu'il a eu à l'oral à l'ENS... et je n'arrive pas à conclure.
On considère une suite (de complexes) $(u_n)_{n\geq 1}$ de carré sommable, c'est-à-dire $\displaystyle{\sum_{k\geq 1}} |u_k|^2 < \infty$.
La question est : "Que peut-on dire de la série double : $S=\displaystyle{\sum_{p,q}} \frac{u_pu_q}{p+q}$ ?"
Bien entendu, j'ai testé Cauchy-Schwarz... et on arrive à majorer par une série... divergente, ce qui n'est pas très utile.
J'ai aussi essayé de transformer en une série simple en posant $n=p+q$ et en utilisant le produit de Cacuhy, mais je ne suis pas allé très loin dans cette voie.
Enfin, j'ai essayé de mettre sous forme intégrale en utilisant la fonction $$F:x\mapsto \sum_{k\geq 1} u_k x^k$$ dont le rayon de convergence est supérieur ou égal à 1... mais dont je ne sais même pas si elle converge en 1. On arrive à la conclusion que la série double $S$ converge si et seulement si l'intégrale $\int_0^1 \frac{F(x)^2}{x}dx$ converge. Mais malheureusement le comportement de $F$ au voisinage de 1 m'échappe.
J'ai l'impression que la série double diverge dans certains cas mais je n'ai pas réussi à trouver de contre-exemple...
Pouvez-vous m'aider soit en trouvant un contre-exemple, soit en montrant que ça converge dans tous les cas, soit en trouvant une CNS supplémentaire pour qu'il y ait convergence ?
On considère une suite (de complexes) $(u_n)_{n\geq 1}$ de carré sommable, c'est-à-dire $\displaystyle{\sum_{k\geq 1}} |u_k|^2 < \infty$.
La question est : "Que peut-on dire de la série double : $S=\displaystyle{\sum_{p,q}} \frac{u_pu_q}{p+q}$ ?"
Bien entendu, j'ai testé Cauchy-Schwarz... et on arrive à majorer par une série... divergente, ce qui n'est pas très utile.
J'ai aussi essayé de transformer en une série simple en posant $n=p+q$ et en utilisant le produit de Cacuhy, mais je ne suis pas allé très loin dans cette voie.
Enfin, j'ai essayé de mettre sous forme intégrale en utilisant la fonction $$F:x\mapsto \sum_{k\geq 1} u_k x^k$$ dont le rayon de convergence est supérieur ou égal à 1... mais dont je ne sais même pas si elle converge en 1. On arrive à la conclusion que la série double $S$ converge si et seulement si l'intégrale $\int_0^1 \frac{F(x)^2}{x}dx$ converge. Mais malheureusement le comportement de $F$ au voisinage de 1 m'échappe.
J'ai l'impression que la série double diverge dans certains cas mais je n'ai pas réussi à trouver de contre-exemple...
Pouvez-vous m'aider soit en trouvant un contre-exemple, soit en montrant que ça converge dans tous les cas, soit en trouvant une CNS supplémentaire pour qu'il y ait convergence ?
Réponses
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je pense qu'elle est convergente car:
$\ \sum_{i=0}^{n} | \frac{u_{p} u_{q}}{p+q} | \leq \sum_{i=0}^{n}
| u_{p} u_{q} | < \infty $ .
en effet :
$\ | u_{p} u_{q} | = | u_{p} | |u_{q} | \leq (max( | u_{p} | , |u_{q} |)^{2}= (| u_{\sigma(p,q) \in \N} |)^{2} $.
Or:
$\ (| u_{\sigma(p,q)} |)_{n \in \N} $ est une suite extraite d'une suite :
$\ (| u_{\sigma(p,q)} |)_{n \in \N} $ lui meme est une suite dont on a permuter les indices avec : $\ (u_{n})_{n \in \N} $ car la somme ne change pas qu'on on change l'ordre de sommation , les termes sont positif !!
$\ \sum_{i=0}^{n} | u_{p} u_{q} | \leq \sum_{i=0}^{\sigma(p,q)} (| u_{\sigma(p,q)} |)^{2} \leq \sum_{i=0}^{n} }= (| u_{n} |)^{2} < \infty $. -
je dis pas que c'est juste mais à vous de corriger !!
-
Bonjour,
Je me souviens d'un exercice où l'on prouve :
Pour tous réels a(1), a(2), ... a(n),
La somme des ( a(p)a(q)/(p+q+1) ), pour p, q variant de 1 à n, est inférieure à pi fois la somme des a(p)^2, p variant de 1 à n.
Cette inégalité permet donc de conclure à la convergence de la série proposée.
Amicalement. -
Pablo, ça ne va pas du tout, ton raisonnement. On fait 2 sommes : une sur p et une sur q... et donc ta majoration ne marche pas.
Loulmet, je suis fortement intéressé... Cà sent le Fourier et l'inégalité isopérimétrique... Mais je ne vois pas du tout comment arriver là ! -
Le résultat cité par Loulmet est connu sous le nom de théorème de Hilbert pour les séries doubles (Hilbert's Double Series Theorem).
Le web doit permettre de trouver des preuves.
Amicalement, -
&sum#sum;_p=0^&infin#infty; &sum#sum;_q=0^&infin#infty; | u_p.u_q ||p+q| &le#leq;&sum#sum;_p=0^&infin#infty; &sum#sum;_q=0^&infin#infty; | u_p.u_q |
<BR>< &infin#infty;.<BR> -
Salut Bisam:
$\ \sum_{p=0}^{\infty} \sum_{q=0}^{\infty} \frac{| u_{p}.u_{q} |}{|p+q|} \leq \sum_{p=0}^{\infty} \sum_{q=0}^{\infty} | u_{p}.u_{q} |
< \infty $. -
Merci Kuja et Loulmet.
Et en plus, j'ai vu que ça se généralise !! -
il y'a equipotence entre : $\ \N * \N \longrightarrow \N $ donc
$\ \N * \N \longrightarrow \N $ est injective !!
On reprend ce que j'ai fait au début, on suit la meme demarche, on doit trouver le resultat !! -
l'ENS c'est bac+2, bac+3...???
-
c'est quoi ENS???
-
Je crois que c'est un exo du Chambert Loir (exos d'analyse pour l'agrégation, tome 1).
Quelqu'un se sent-il de donner des indications de la preuve, je n'ai pas le bouquin à portée de main pour le week end.
ps: ENS=école normale supérieure, c'est bac+2. -
je ne sais pas ce que vous recherchez dans cet exo !!
-
bien vu Corentin,
Chambert-Loir Exo 5.10 p102 :"une inégalité de Hilbert"
la série double de bisam avec (p+q+1) au dénominateur et ($u_n$) dans$l^2$ est -
après relecture , ici, ($a_n$) est dans$ l^2(N,R)$
Pablo : ENS = Ecole Normale Supérieure -
On pourrait avoir la correction. Ca m'a mis l'eau à la bouche. Je n'aimerais pas rester sur ma faim. Et comme le Chambert Loir m'est hors d'atteinte...
Merci d'avance,
Joaopa -
pour bisam (et les autres..) je vous recopie l'exo du Chambert-Loir (cf référence fournie par bs) puisque je l'ai sous la main :
{\bf Enoncé :}
soit $(u_n)$ une série dans $\ell ^2$. Montrer
$$\sum_{n=0}^{\infty }\,\sum_{p=0}^{\infty }\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\leq \pi \sum_{n=0}^{\infty }\,a_n^2$$
{\bf Indication fournie :}
on pourra utiliser l'égalité, où $P$ est un polynôme :
$$\int_{1}^1(P(t))^2dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta$$
{\bf Solution :}
l'égalité proposée comme indication résulte de la théorie de l'intégration d'une fct holomorphe (indépendance du lacet choisi comme chemin d'intégration). On peut si on préfère la vérifier à la main sur les monômes $X^n$.
On considère alors le polynôme $P(X)=\sum_{n=0}^N\,u_nX^n$. On a
$$(P(X))^2=\sum_{n=0}^N\,\sum_{p=0}^N\,u_nu_pX^{n+p}$$
Une primitive de $P^2$ est donc
$$\int\,P^2=\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\,X^{n+p}$$
et par suite
$$\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}=\int_0^1(P(t))^2\,dt\leq \int_{-1}^1(P(t))^2\,dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta=\pi \sum_{n=0}^{\infty }\,a_n^2$$
On conclut en disant que le membre de gauche de l'inégalité à prouver existe grâce à la convergence absolue de la série et en faisant $N\rightarrow \infty$.
Remarque : cette inégalité et ses applications fait l'objet d'un chapitre dans : Hardy, Littlewood, Polya : {\it Inequalities}, C.U.P. 1955. -
pour bisam (et les autres..) je vous recopie l'exo du Chambert-Loir (cf référence fournie par bs) puisque je l'ai sous la main :
{\bf Enoncé :}
soit $(u_n)$ une série dans $\ell ^2$. Montrer
$$\sum_{n=0}^{\infty }\,\sum_{p=0}^{\infty }\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\leq \pi \sum_{n=0}^{\infty }\,a_n^2$$
{\bf Indication fournie :}
on pourra utiliser l'égalité, où $P$ est un polynôme :
$$\int_{1}^1(P(t))^2dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta$$
{\bf Solution :}
l'égalité proposée comme indication résulte de la théorie de l'intégration d'une fct holomorphe (indépendance du lacet choisi comme chemin d'intégration). On peut si on préfère la vérifier à la main sur les monômes $X^n$.
On considère alors le polynôme $P(X)=\sum_{n=0}^N\,u_nX^n$. On a
$$(P(X))^2=\sum_{n=0}^N\,\sum_{p=0}^N\,u_nu_pX^{n+p}$$
Une primitive de $P^2$ est donc
$$\int\,P^2=\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\,X^{n+p}$$
et par suite
$$\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}=\int_0^1(P(t))^2\,dt\leq \int_{-1}^1(P(t))^2\,dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta=\pi \sum_{n=0}^{N}\,a_n^2$$
On conclut en disant que le membre de gauche de l'inégalité à prouver existe grâce à la convergence absolue de la série et en faisant $N\rightarrow \infty$.
Remarque : cette inégalité et ses applications fait l'objet d'un chapitre dans : Hardy, Littlewood, Polya : {\it Inequalities}, C.U.P. 1955. -
pour bisam (et les autres..) je vous recopie l'exo du Chambert-Loir (cf référence fournie par bs) puisque je l'ai sous la main :
{\bf Enoncé :}
soit $(u_n)$ une série dans $\ell ^2$. Montrer
$$\sum_{n=0}^{\infty }\,\sum_{p=0}^{\infty }\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\leq \pi \sum_{n=0}^{\infty }\,a_n^2$$
{\bf Indication fournie :}
on pourra utiliser l'égalité, où $P$ est un polynôme :
$$\int_{-1}^1(P(t))^2dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta$$
{\bf Solution :}
l'égalité proposée comme indication résulte de la théorie de l'intégration d'une fct holomorphe (indépendance du lacet choisi comme chemin d'intégration). On peut si on préfère la vérifier à la main sur les monômes $X^n$.
On considère alors le polynôme $P(X)=\sum_{n=0}^N\,u_nX^n$. On a
$$(P(X))^2=\sum_{n=0}^N\,\sum_{p=0}^N\,u_nu_pX^{n+p}$$
Une primitive de $P^2$ est donc
$$\int\,P^2=\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\,X^{n+p}$$
et par suite
$$\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}=\int_0^1(P(t))^2\,dt\leq \int_{-1}^1(P(t))^2\,dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta=\pi \sum_{n=0}^{N}\,a_n^2$$
On conclut en disant que le membre de gauche de l'inégalité à prouver existe grâce à la convergence absolue de la série et en faisant $N\rightarrow \infty$.
Remarque : cette inégalité et ses applications fait l'objet d'un chapitre dans : Hardy, Littlewood, Polya : {\it Inequalities}, C.U.P. 1955.
[erreurs de frappe corrigées : messages précédents à supprimer] -
L'exercice tel qu'il a été posé par bisam (avec p+q au dénominateur) est dans le bouquin d'Arnaudiès & Fraysse, tome 2 analyse, page 515 exo 2, avec l'indication:
Commencer par montrer que pour $m\in\mathbb{N}^*$ on a:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(n+m)}\leq \int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+t)\sqrt{t}}$$
pour majorer:
$$\sum_{1\leq p,q\leq n} \frac{|a_p| |a_q|}{p+q}$$ -
pour bisam (et les autres..) je vous recopie l'exo du Chambert-Loir (cf référence fournie par bs) puisque je l'ai sous la main :
{\bf Enoncé :}
soit $(u_n)$ une série dans $\ell ^2$. Montrer
$$\sum_{n=0}^{\infty }\,\sum_{p=0}^{\infty }\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\leq \pi \sum_{n=0}^{\infty }\,u_n^2$$
{\bf Indication fournie :}
on pourra utiliser l'égalité, où $P$ est un polynôme :
$$\int_{-1}^1(P(t))^2dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta$$
{\bf Solution :}
l'égalité proposée comme indication résulte de la théorie de l'intégration d'une fct holomorphe (indépendance du lacet choisi comme chemin d'intégration). On peut si on préfère la vérifier à la main sur les monômes $X^n$.
On considère alors le polynôme $P(X)=\sum_{n=0}^N\,u_nX^n$. On a
$$(P(X))^2=\sum_{n=0}^N\,\sum_{p=0}^N\,u_nu_pX^{n+p}$$
Une primitive de $P^2$ est donc
$$\int\,P^2=\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}\,X^{n+p}$$
et par suite
$$\sum_{n=0}^{N }\,\sum_{p=0}^{N}\,\frac{u_nu_p}{n+p+1}=\int_0^1(P(t))^2\,dt\leq \int_{-1}^1(P(t))^2\,dt=-i\int_0^{\pi }(P(e^{i\theta }))^2e^{i\theta }\,d\theta=\pi \sum_{n=0}^{N}\,u_n^2$$
On conclut en disant que le membre de gauche de l'inégalité à prouver existe grâce à la convergence absolue de la série et en faisant $N\rightarrow \infty$.
Remarque : cette inégalité et ses applications fait l'objet d'un chapitre dans : Hardy, Littlewood, Polya : {\it Inequalities}, C.U.P. 1955.
[Pfff, on n'en finit plus de corriger les erreurs de frappe...] -
Ben, faut avouer que je n'aurais pas trouvé tout seul. Je me demande s'il y en a qui ont réussi à faire cet exo aux oraux des ENS.
Si oui, vraiment balèze le mec
Merci pour Patrick et Aleg qui ont pris la peine d'écrire les indications
Joaopa -
de retour ...
oui ,merci Aleg; de plus ,je m'aperçois que c'est ce que demandait Corentin; désolé.
ma version n'eut pas été Latexisé, mais ça progresse.
bonne soirée à tous, surtout à bisam qui va mieux dormir. -
Tiens, je viens de voir cet exo dans le livre "Tout en un ECS2" p277, ex32.
-
Merci de t'inquiéter pour mon sommeil, bs..
J'ai l'impression que l'on peut relier tout cela avec des produits scalaires... je vais encore y réfléchir un peu pour voir si on ne pourrait pas trouver plus simple.
Merci tout de même à Aleg et aux autres. -
Oui sur IR[X] avec le produit scalaire intégrale de PQ
-
ce que vous compliquez trop les choses !!!
-
Pablo... Quelques conseils cordiaux : essaye de réfléchir un peu avant de rédiger tes posts, relis-toi avant de les envoyer, et au passage évite d'envoyer 4 posts de 2 lignes chacun, un seul post de 8 lignes est bien plus agréable à lire.
Pour en revenir aux maths, non, les gens compétents qui ont présenté des démonstrations très belles et très astucieuses ne se sont pas "compliqué(s?) la vie" pour rien. Il est en général faux que si une suite $(u_n)$ vérifie $\displaystyle \sum_{n \in \N} |u_n|^2 < +\infty$, alors $\displaystyle \sum_{(p,q) \in \N^2} |u_p u_q| < +\infty$, l'erreur que tu fais est de croire que la deuxième somme est égale à la première. Il y a bien une bijection entre les deux ensembles d'indices mais elle ne préserve pas le terme qu'on somme.
Si par exemple $u_n=1/n$, alors la première série converge mais la seconde ne converge pas, et même en fixant $p$, la somme sur $q$ est divergente ! -
bonjour :
j'ai une proposition :
$\ \sum_{p,q} | \frac{u_{p}.u_{q}}{p+q} | $ = $\ \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{( u_{p} - u_{q} )^{2} + u_{p}^{2} + u_{q}^{2}}{p+q} |
\geq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{( u_{p} - u_{q} )^{2}}{p+q} | \geq
\frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{( u_{1} - u_{2} )^{2}}{p+q} | > \infty $ -
bonjour :
j'ai une proposition :
$\ \sum_{p,q} | \frac{u_{p}.u_{q}}{p+q} | $ = $\ \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{( u_{p} - u_{q} )^{2} + u_{p}^{2} + u_{q}^{2}}{p+q} |
\geq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{( u_{p} - u_{q} )^{2}}{p+q} | \geq
\frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{min ( u_{p} - u_{q} )^{2}}{p+q} | > \infty $
avec : u_{p} \neq u_{q} -
Non, car $\inf_{(p,q)} (u_p-u_q)^2 = 0$ (sans quoi $\sum u_k$ serait grossièrement divergente et $\sum u_k^2$ aussi).
-
non, $\ inf_{(p,q)} (u_{p} - u_{q})^{2} \neq 0 quant u_{p} \neq u_{q} $ !!
$\ \Rightarrow $
$\ inf_{(p,q)} (u_{p} - u_{q})^{2} = \alpha > 0 $.
est ce que $\ \alpha $ existe par ce que : $\ ]0, \infty[ $ est un ouvert !!! -
vous avez pas mal de potentialité pour dechiffrer l'erreur... on dirait que vous avez la solution et vous la cachez de nos yeux !! mdrrr
proposer des solutions, vous repondez que par oui et non !! ^^ -
$\ \sum_{p,q} | \frac{u_{p}.u_{q}}{p+q} | \leq \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{( u_{p} + u_{q} )^{2} }{p+q} - \frac{ u_{p}^{2} + u_{q}^{2} }{p+q} | \leq { \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{| u_{p} + u_{q} |^{2}}{p+q} | } + \sum_{p,q} \frac{| u_{p} |^{2} }{p+q} $ .
alors pour montrer que :
$\ \sum_{p,q} | \frac{u_{p}.u_{q}}{p+q} | \leq \sum_{p \geq 1 } | u_{p} |^{2} $ .
il suffit de montrer que :
$\ { \frac{1}{2} \sum_{p,q} | \frac{| u_{p} + u_{q} |^{2}}{p+q} | } + \sum_{p,q} \frac{| u_{p} |^{2} }{p+q} \leq \sum_{p \geq 1 } | u_{p} |^{2} $
c - à - d :
$\ \sum_{p,q} | \frac{| u_{p} + u_{q} |^{2}}{p+q} | + 2.\sum_{p,q} \frac{| u_{p} |^{2} }{p+q} \leq 2.\sum_{p \geq 1 } | u_{p} |^{2} $.
la dernière equivalence equivaut à:
$\ \sum_{p,q} | \frac{| u_{p} + u_{q} |^{2}}{p+q} | \leq 2.\sum_{p,q} (1 - \frac{1}{p+q}) | u_{p} |^{2} $.
$\ \Leftrightarrow $
$\ \sum_{p,q} | \frac{| u_{p} + u_{q} |^{2}}{p+q} | \leq 2.\sum_{p,q} (\frac{p+q-1}{p+q}) | u_{p} |^{2} $
Or:
$\ \sum_{p,q} | \frac{| u_{p} + u_{q} |^{2}}{p+q} | \leq 2.\sum_{p,q} | u_{p} |^{2} $.
$\ \Rightarrow $
$\ 2.\sum_{p,q} | u_{p} |^{2} \leq 2.\sum_{p,q} (\frac{p+q-1}{p+q}) | u_{p} |^{2} $ ( vrai ).
$\ \Rightarrow $
$\ \sum_{p,q} | \frac{u_{p}.u_{q}}{p+q} | \leq \sum_{p \geq 1 } | u_{p} |^{2} < \infty $. -
Pablo, tu n'as toujours pas compris que lorsqu'on écrit $\displaystyle{\sum_{p,q}}$, cela signifie qu'il y a 2 sommes $\displaystyle{\sum_p \sum_q}$.
-
Comme quoi, les exos des ENS sont de vrais foutages de gueule. L'exercice posé comme l'a posé Aleg est beaucoup mieux.
-
désolé, j'ai oublié d'ajouter la quantité: $\ \frac{1}{p+q} $ dans le passage ---> Or : .... !!
mais ça change rien, le resultat reste toujours le meme !! -
dans quel passage il y'a erreur bisam ?
-
Juste un petit complément bibliographique : l'inégalité de Hilbert se trouve bien sûr dans le remarquable livre {\it Inequalities} de Hardy, Littlewood et Polya (Cambridge).
Pour généraliser, voici l'inégalité dite de Hardy, Littlewood et Polya : soient $\alpha > 1$, $a_n, b_n \geqslant 0$ et $\varphi \geqslant 0$ homogène de degré $-1$ sur $\R^2$ tels que :
(i) $$\int_{0}^{\infty} \varphi(x,1) x^{-1/\alpha} \, dx = \int_{0}^{\infty} \varphi(1,y) y^{-1 + 1/\alpha} \, dy = k,$$
(ii) Les fonctions $x \mapsto \varphi(x,1) x^{-1/\alpha}$ et $y \mapsto \varphi(1,y) y^{-1 + 1/\alpha}$ sont strictement décroissantes.
Alors on a : $$\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \varphi(i,j) a_i b_j \leqslant k \left ( \sum_{i=1}^{\infty} a_i^{\alpha} \right )^{1/\alpha} \left ( \sum_{j=1}^{\infty} b_j^{\alpha / (\alpha - 1)} \right )^{-1 + 1/ \alpha}.$$
Borde. -
Pablo : L'inf d'un ensemble de nombres strictement positifs peut être nul, justement parce que $]0,+\infty[$ n'est pas fermé. Et encore une fois essaye de limiter le nombre de posts, c'est vraiment irritant.
-
Pablo, concentre toi. $\mathrm{inf}_{(p,q)} |u_p - u_q| \neq 0$ signifie que $(u_n)$ n'a pas de point d'accumulation et en particulier qu'elle ne converge pas vers 0 ...
-
oui je comprends ce que tu veut dire : $\ \exists \varepsilon $ : $\ d( u_{p} , u_{q} ) > \varepsilon \forall p,q $ ça veut dire qu'elle n'est pas de cauchy donc ne converge pas , mais moi je cherchais \alpha arbitraire, pas necessairement inf, mais avec cette condition: $\ inf \neq 0 $, c'est juste pour trouver quelque chose constante !!
-
d'accord Guimauve, tu veux dire que je cherche en vain, merçi !!
egoroff j'ai pas le choix !!
c'est ce que j'ai remarqué quant je recherchais un $\ \alpha $ dans l'ouvert $\ ]0, \infty[ $ c'est qu'il peut toujours exister des distances inferieur quant on somme infiniment rien ne nous dit qu'il va à l'infini ou bien ça reste une valeur constante !! -
Egoroff j'irrite personne, on discute, comme ça les idées s'organisent, c'est pour lubrifier la cervelle lol !!
Bon ne t'inquiète pas je vais essayer de réduire le taux de poste que je j'affiche !! -
Essaye quand même de dire tout ce que tu as à dire sur le même post. Là tu viens encore d'en envoyer 3 de suite, c'est un peu soûlant et ça ne facilité pas la compréhension. Relis la dernière phrase de ton post de 1h09, moi je l'ai lue 5 ou 6 fois je n'ai toujours rien compris.
Et puis si 80 pourcent des messages sur un fil de discussion viennent de toi ça se rapproche plutôt d'un monologue. Surtout que c'est pour dire un peu n'importe quoi !
Dans cet exemple ton fameux $\mathrm{inf}$ est forcément nul puisque comme Guimauve te l'a fait deux fois remarquer la condition $\sum_n |u_n|^2 < +\infty$ implique que $u_n$ converge, donc $u_{n+1}-u_n$ tend vers 0, et pourtant $n \neq n+1$... -
Si on applique ce que borde a proposé je pense qu'on aurra quelque chose :
On pose:
$\ \alpha = 2 $
$\ \varphi (x,y) $ = $\ \frac{1}{x+y} $
$\ \varphi (t.(x,y)) $ = $\ \varphi ((tx,ty)) $ = $\ \frac{1}{tx+ty} $ = $\ \frac{1}{t}. \frac{1}{x+y} $ = $\ \frac{1}{t}. \varphi (x,y) $.
j'ai verifié ce que c'est une fonction homogène sur google:
définition :
$\ f $ homogène de degré $\ \alpha $ sur $\ D $
$\ \Leftrightarrow $
$\ \forall t \in D \forall X \in D : tX \in D $ : $\ f(tX) = t^{\alpha} f(X) $
dans notre cas:
$\ \varphi (x,y) > 0 $ homogène de degré $\ -1 $.
parceque moi je connais pas !!
$\ a_{n} = b_{n} = | u_{n} | $
Maintenant pour les integrales :
$\ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1).x^{\frac{1}{2}} dx $ = 2. \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^{2} + 1} dt = \frac{\pi}{2} $.
$\ x \longmapsto \frac{1}{(x+1).x^{\frac{1}{2}} $ est décroissante sur $\ ]0,\infty[ $ !! ( évident )
$\ \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|u_{n}|^{2}}{p+q}
\leq \frac{\pi}{2} \sum_{p=1}^{\infty} | u_{n} |^{2} $ < \infty $
donc la serie est bornée. -
Si on applique ce que borde a proposé je pense qu'on aurra quelque chose :
On pose:
$\ \alpha = 2 $
$\ \varphi (x,y) $ = $\ \frac{1}{x+y} $
$\ \varphi (t.(x,y)) $ = $\ \varphi ((tx,ty)) $ = $\ \frac{1}{tx+ty} $ = $\ \frac{1}{t} \frac{1}{x+y} $ = $\ \frac{1}{t} \varphi (x,y) $.
j'ai verifié ce que c'est une fonction homogène sur google:
définition :
$\ f $ homogène de degré $\ \alpha $ sur $\ D $
$\ \Leftrightarrow $
$\ \forall t \in D \forall X \in D : tX \in D $ : $\ f(tX) = t^{\alpha} f(X) $
dans notre cas:
$\ \varphi (x,y) > 0 $ homogène de degré $\ {-1} $.
$\ a_{n} = b_{n} = | u_{n} | $
Maintenant pour les integrales :
$\ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} dx $ = $\ 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^{2} + 1} dt $ = $\ \frac{\pi}{2} $.
$\ x \longmapsto \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} $ est décroissante sur $\ ]0,\infty[ $ !! ( évident )
$\ \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|u_{n}|^{2}}{p+q}
\leq \frac{\pi}{2} \sum_{p=1}^{\infty} |u_{n}|^{2} $ < \infty $
la serie est bornée. -
Si on applique ce que borde a proposé je pense qu'on aurra quelque chose :
On pose:
$\ \alpha = 2 $
$\ \varphi (x,y) $ = $\ \frac{1}{x+y} $
$\ \varphi (t(x,y)) $ = $\ \varphi ((tx,ty)) $ = $\ \frac{1}{tx+ty} $ = $\ \frac{1}{t} \frac{1}{x+y} $ = $\ \frac{1}{t} \varphi (x,y) $.
j'ai verifié ce que c'est une fonction homogène sur google:
définition :
$\ f $ est homogène de degré $\ \alpha $ sur $\ D $
$\ \Leftrightarrow $
$\ \forall t \in D \forall X \in D $ : $\ tX \in D $ : $\ f(tX) $ = $\ t^{\alpha} f(X) $
dans notre cas:
$\ \varphi (x,y) > 0 $ homogène de degré $\ {-1} $.
$\ a_{n} = b_{n} = | u_{n} | $
Maintenant pour les integrales :
$\ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} dx $ = $\ 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^{2} + 1} dt $ = $\ \frac{\pi}{2} $.
$\ x \longmapsto \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} $ est décroissante sur $\ ]0,\infty[ $ !! ( évident )
$\ \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|u_{n}|^{2}}{p+q}
\leq \frac{\pi}{2} \sum_{p=1}^{\infty} |u_{n}|^{2} $ < \infty $
la serie est bornée.
wsv1vjm -
$\ \alpha $\ = $\ 2 $
$\ \varphi (x,y) $ = $\ \frac{1}{x+y} $
$\ \varphi (t(x,y)) $ = $\ \varphi ((tx,ty)) $ = $\ \frac{1}{tx+ty} $ = $\ \frac{1}{t} \frac{1}{x+y} $ = $\ \frac{1}{t} \varphi (x,y) $ -
$\ \varphi (x,y) > 0 $
$\ a_{n} = b_{n} $ = $\ | u_{n} | $
$\ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1) x^{\frac{1}{2}} dx $ = $\ 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^{2} + 1} dt $ = $\ \frac{\pi}{2} $.\\
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