recherche d'entiers

Je réveille ce sujet juste pour signaler que j'ai regardé cet exo à mes moments perdus, et que je n'ai trouvé, sauf erreur, que $9$ couples solutions (je me suis restreint aux entiers naturels), à savoir $$(m,n) \in \{(1,2), \, (1,3), \, (2,1), \, (2,2) \, (2,5), \, (3,1), \, (3,5), \, (5,2) \, (5,3) \}.$$

Borde.

bonjour
peut être avec le triangle de pascal,
si le dernier couple de la suite de borde est bien $(4,4)$
la somme des 5 couples suivants donnerait 55...

bonjour borde
juste une petite question la somme des 5 couples suivants est elle = 63 ("et non 55, érreur ")

OK...Elle est à vérifier, et il peut, évidemment, y avoir une méthode plus directe :

{\bf Enoncé}. Quels sont les entiers naturels $m,n$ pour lesquels le nombre $\displaystyle {f(m,n) = \frac {n^3+1}{mn-1}}$ soit lui aussi un entier naturel ?

{\bf Etape 1}. {\it Cas particuliers et autres remarques}.

On exclut les couples $(0,n), \, (m,0), \, (1,1)$. On vérifie ensuite que, si $n \in \{1,2,3,4,5\}$, alors seuls les couples $(1,2), \, (1,3), \, (2,1), \, (2,2), \, (2,5), \, (3,1), \, (3,5) \, (5,2), \, (5,3)$ sont solutions, donc on suppose que $n \geqslant 6$. D'autre part, si $m=1$, alors $$f(1,n) = n^2+n+1 + \frac {2}{n-1} \in \left ]n^2+n+1, \, n^2 + n + \frac {7}{5} \right ]$ qui ne contient pas d'entier. On suppose donc que $m \geqslant 2$ et $n \geqslant 6$.

Je laisse également la vérification que, nécessairement, on a $m < n^2$ (facile).

Enfin, on peut aussi remarquer que $f(m,n) \not = n-1$, car, sinon, on aurait $$m = n+1 + \frac {2}{n-1}$$ qui ne peut être entier sous l'hypothèse $n \geqslant 6$.

{\bf Etape 2}. {\it Etude générale}.

L'idée de base est exposée plus haut dans le message de Ludovic : supposons que $f(m,n) = j \in \N$. Alors on aurait $n^3 + 1 = j(mn-1)$, ce qui impliquerait que $j \equiv - 1 \pmod n$, c'est-à-dire impliquerait l'existence d'un entier $h \geqslant 1$ tel que $j=-1 + hn$. D'après ci-dessus, on a même $h \geqslant 2$. En remplaçant $j$ par $-1 + hn$, il vient : $n^3 + 1 = (hn-1)(mn-1)$, puis : $$h = \frac {n}{m} + \frac {m^2 + n}{m(mn-1)}.$$ Il est facile de vérifier, avec cette égalité, que, si $m=2$, seul le couple $(2,5)$ est solution, et, de même, si $m=3$, seul le couple $(3,5)$ est solution.

Supposons maintenant $m \geqslant 4$ et $n \geqslant 6$.

On remarque d'abord que, si $m \geqslant 2n/3$, alors la fonction $\displaystyle {\varphi_n : m \mapsto \frac {m^2 + n}{m(mn-1)}}$ est strictement décroissante, et donc : $$\frac {m^2 + n}{m(mn-1)} \leqslant \varphi_n \left ( \frac {2n}{3} \right ) = \frac {4n+9}{2(2n^2 - 3)} \leqslant \frac{11}{46}$$ si $n \geqslant 6$, et ainsi : $$2 \leqslant h = \frac {n}{m} + \frac {m^2 + n}{m(mn-1)} \leqslant \frac {3}{2} + \frac {11}{46} < 2$$ ce qui est impossible, et donc $m < 2n / 3$.

L'égalité obtenue pour $h$ peut alors s'écrire : $$mh-n = \frac {m^2 + n}{mn-1},$$ et la fonction $\displaystyle {\phi_n : m \in \left [ 4 , 2n/3 ] \mapsto \frac {m^2 + n}{mn-1}}$ est strictement convexe, et donc : $${m^2 + n}{mn-1} \leqslant \max \left ( \phi_n(4) \, , \, \phi_n(2n/3) \right ) = \frac {n(4n+9)}{3(2n^2-3)} \leqslant \frac {22}{23} < 1$$ si $n \geqslant 6$. Ainsi, pour $m \geqslant 4$ et $n \geqslant 6$, on a : $$0 < mh-n < 1$$ ce qui est impossible puisque $mh-n$ est entier.

Borde.

OK...Elle est à vérifier, et il peut, évidemment, y avoir une méthode plus directe \
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{\bf Enoncé}. Quels sont les entiers naturels $m,n$ pour lesquels le nombre $\displaystyle {f(m,n) = \frac {n^3+1}{mn-1}}$ soit lui aussi un entier naturel ?\\
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{\bf Etape 1}. {\it Cas particuliers et autres remarques}.\\
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On exclut les couples $(0,n), \, (m,0), \, (1,1)$. On vérifie ensuite que, si $n \in \{1,2,3,4,5\}$, alors seuls les couples $(1,2), \, (1,3), \, (2,1), \, (2,2), \, (2,5), \, (3,1), \, (3,5) \, (5,2), \, (5,3)$ sont solutions, donc on suppose que $n \geqslant 6$. D'autre part, si $m=1$, alors $$f(1,n) = n^2+n+1 + \frac {2}{n-1} \in \left ] n^2 + n + 1, \, n^2 + n + \frac {7}{5} \right ]$$ qui ne contient pas d'entier. On suppose donc que $m \geqslant 2$ et $n \geqslant 6$.\\
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Je laisse également la vérification que, nécessairement, on a $m < n^2$ (facile).\\
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Enfin, on peut aussi remarquer que $f(m,n) \not = n-1$, car, sinon, on aurait $$m = n+1 + \frac {2}{n-1}$$ qui ne peut être entier sous l'hypothèse $n \geqslant 6$.\\\\
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{\bf Etape 2}. {\it Etude générale}.\\\\
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L'idée de base est exposée plus haut dans le message de Ludovic : supposons que $f(m,n) = j \in \N$. Alors on aurait $n^3 + 1 = j(mn-1)$, ce qui impliquerait que $j \equiv - 1 \pmod n$, c'est-à-dire impliquerait l'existence d'un entier $h \geqslant 1$ tel que $j=-1 + hn$. D'après ci-dessus, on a même $h \geqslant 2$. En remplaçant $j$ par $-1 + hn$, il vient : $n^3 + 1 = (hn-1)(mn-1)$, puis : $$h = \frac {n}{m} + \frac {m^2 + n}{m(mn-1)}.$$ Il est facile de vérifier, avec cette égalité, que, si $m=2$, seul le couple $(2,5)$ est solution, et, de même, si $m=3$, seul le couple $(3,5)$ est solution.\\\\
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Supposons maintenant $m \geqslant 4$ et $n \geqslant 6$. \\\\
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On remarque d'abord que, si $m \geqslant 2n/3$, alors la fonction $\displaystyle {\varphi_n : m \mapsto \frac {m^2 + n}{m(mn-1)}}$ est strictement décroissante, et donc : $$\frac {m^2 + n}{m(mn-1)} \leqslant \varphi_n \left ( \frac {2n}{3} \right ) = \frac {4n+9}{2(2n^2 - 3)} \leqslant \frac{11}{46}$$ si $n \geqslant 6$, et ainsi : $$2 \leqslant h = \frac {n}{m} + \frac {m^2 + n}{m(mn-1)} \leqslant \frac {3}{2} + \frac {11}{46} < 2$$ ce qui est impossible, et donc $m < 2n / 3$.\\\\
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L'égalité obtenue pour $h$ peut alors s'écrire : $$mh-n = \frac {m^2 + n}{mn-1},$$ et la fonction $\displaystyle {\phi_n : m \in [ 4 , 2n/3 ] \mapsto \frac {m^2 + n}{mn-1}}$ est strictement convexe, et donc : $$\frac {m^2 + n}{mn-1} \leqslant \max \left ( \phi_n(4) \, , \, \phi_n(2n/3) \right ) = \frac {n(4n+9)}{3(2n^2-3)} \leqslant \frac {22}{23} < 1$$ si $n \geqslant 6$. Ainsi, pour $m \geqslant 4$ et $n \geqslant 6$, on a : $$0 < mh-n < 1$$ ce qui est impossible puisque $mh-n$ est entier.\\\\
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Borde (message précédent à supprimer. Merci).

bonjour

bravo et merci Borde : c'est un exercice OIM classé ** que tu as résolu par une méthode différente de celle du pdf joint par superman( Exo 56)

superman : merci pour ce très intéressant document rédigé entre autre par Pierre Bornsztein, auteur des remarquables "Supermath" et "Hypermaths", et qui fréquente un forum de mathématiques autre que celui-ci.

zalinsky: pour quelle raison ne veux tu pas indiquer la source de ton exercice? (j'ai remarqué que souvent les questionneurs rechignent à donner les références de leurs intéressants exercices , et pourtant ,ça ne peut être qu'un apport positif)

bonne journée

Bonjour,

on peut chercher les solutions dans Z sans grand pb.
on a des solutions supplémentaires bien sur avec m=-1 et n arbitraire

on montre simplement que chercher les solutions (n^3+1)/(mn-1)€Z
revient à chercher les solutions de (n²+m)/(nm-1)€Z

et j'en viens à ce qui motive ce message qui serait sans interet sinon:

on est conduit à caractériser les quadruplets (a,b,u,v) d'entiers rationnels tels que
a+b=uv et ab= u+v

pas si facile à priori..et c'est peut etre ce pb rigolo qui a conduit à l'énoncé
résolu par borde et les auteurs du document de superman..

a t on une réponse élémentaire pour la version que je propose?
( je l'ai cru un instant; puis me suis ravisé..)

Oump.

Borde, je sens que tes élèves seront fin prêts pour les futures olympiades, les Chinois n'ont qu'à bien se tenir!j'espère qu'il en sera de même pour les élèves de longjing.

Oumpapah : j'avais photocopié, lors de ma tranche de vie girondine, dans les années 85, les énoncés de devoirs d'un fils de collègue, qui était en Sup à Montaigne ; ils sont rédigés manuellement et référencés MSC2 ( Devoir I,II,...) ; peut-être en es-tu l'auteur ? Je viens de les ressortir.
Par ailleurs, j'essaie de triturer tes relations entre u,v,a,b mais sans succès.

Bonsoir
j'ai un gros soucis avec cet exercice...
je vous explique: pour touver des solution j'ai eu la démarche un peu naïve de faire la duvision euclidienne de X^3+1 par mX-1 dans Q[X]
et les seules solutins obtenues ne concerne que les couple (-1,m).
Ce que j'aimerais savoir c'est ou se situe la faute dans cette methode(qui ne fonctione pas tres bien en fait, et qui ne donne que des sotion rationelles a priori).