Un petit souci avec une matrice...

Sans faire aucun calcul (ou presque... juste deux petites additions), on peut voir que la matrice que tu as trouvée ne peut pas être la bonne. En effet, la trace d'une matrice est invariante par conjugaison ; autrement dit, deux matrices qui représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes ont la même trace.

Autre manière, plus générale, de trouver ta matrice, en considérant la transformation des vecteurs de l'ancien repère dans le nouveau repère :

Dans la base canonique :

( 3 1 -3)
M = (-1 1 1)
( 1 1 -1)

La matrice de passage de la nouvelle base B' dans l'ancienne base canonique est :

(1 1 1)
P = (1 -1 0)
(1 0 1)

Et la matrice que tu recherches est :

M' = P^-1 . M.P

où P^-1 est l'inverse de P.

On retrouve la matrice proposée par Guimauve, sans l'astuce qu'il propose et qui accélère grandement l'écriture.

Il n'y pas de colonne de 1 car on doit retrouver par M'.a, la valeur de a (expression de l'image de a par M' dans la nouvelle base) et non une colonne de 1, qui correspondrait à l'image de a dans l'ancienne base canonique.

Cette dernière valeur (image des vecteurs dans l'ancienne base par l'application f), se retrouve par la matrice :

M'' = M.P

soit :

(1 2 0)
M'' = (1 -2 0)
(1 0 0)

Tu retrouves dans cette matrice la colonne de 1 que tu demandais, comme attendu. Cette colonne disparait dans M' = P^-1 . M''.

Je corrige la mise en page :

Autre manière, plus générale, de trouver ta matrice, en considérant la transformation des vecteurs de l'ancien repère dans le nouveau repère :

Dans la base canonique :

M =

( 3 1 -3)
(-1 1 1)
( 1 1 -1)

La matrice de passage de la nouvelle base B' dans l'ancienne base canonique est :

P =

(1 1 1)
(1 -1 0)
(1 0 1)

Et la matrice que tu recherches est :

M' = P^-1 . M.P

où P^-1 est l'inverse de P.

On retrouve la matrice proposée par Guimauve, sans l'astuce qu'il propose et qui accélère grandement l'écriture.

Il n'y pas de colonne de 1 car on doit retrouver par M'.a, la valeur de a (expression de l'image de a par M' dans la nouvelle base) et non une colonne de 1, qui correspondrait à l'image de a dans l'ancienne base canonique.

Cette dernière valeur (image des vecteurs dans l'ancienne base par l'application f), se retrouve par la matrice :

M'' = M.P

soit :

M'' =

(1 2 0)
(1 -2 0)
(1 0 0)

Tu retrouves dans cette matrice la colonne de 1 que tu demandais, comme attendu. Cette colonne disparait dans M' = P^-1 . M''.

Pour tes autres questions :

c est bien dans Ker(f) car f(c) = 0 (comme indiqué dans le calcul de guimauve)
Je ne comprends par pourquoi tu indiques que (0 0 1) (dans la base canonique ?) serait dans Ker(f) car f(0 0 1) = (-3 1 -1), différent de 0.

Par contre (0 0 1) de la base B' est bien dans Ker(f) (il s'agit alors du vecteur c). On a bien M'.c = (0 0 0).

où est ton problème ?