intégrale complexe

Modulo les erreurs de calcul, cette intégrale vaut $\displaystyle {i \, \int_{|s|=1} \frac {ds}{s(s-z)}}$. Ainsi, l'intégrale est nulle si $z$ est intérieur au cercle trigo, et vaut $\displaystyle { \frac {2 \pi}{z}}$ sinon (formule de Cauchy).

Borde.

Sylvain et Barbu Rasé,

Non, je n'ai pas vu ce fil.

Racinedecheveux,

Quant à une méthode plus simple, c'est possible mais je reviens toujours aux intégrales complexes par simple changement de variable, et le résultat tombe directement à l'aide du théorème de Cauchy. Ceci dit, tu peux nous mettre ta méthode.

Borde.

OK, merci Barbu, j'irai jeter un coup d'oeil...sans garantie, toutefois :-)

Borde.

La méthode de Racinedecheveux est intéressante, mais elle ne m'a pas convaincu ! Je reste sur les formules de Cauchy (voir mon message plus haut) : l'expérience, en matière d'analyse complexe, m'a montré que c'était là le moyen le plus sûr...

Borde.

Il est clair que ta méthode fonctionne...Mais pourras-tu la retenir longtemps ? Les formules de Cauchy ont pour elles le fait qu'elles s'appliquent sur un vaste champ d'intégrales. Quant au changement de variable utilisé ici, j'ai simplement repris la définition d'une intégale complexe : si $\gamma : [0,1] \mapsto \C$ est un chemin (ie une application continue sur $[0,1]$, continûment dérivable par morceaux) et $f$ une application complexe continue dans $\gamma \left ( [0,1] \right )$, alors l'intégrale le long de $\gamma$ de $f$ est le nombre complexe $$\int_{\gamma} f(s) \, ds = \int_{0}^{1} f \left ( \gamma (t) \right ) \, \gamma'(t) \, dt.$$

Borde.

Bien vu, Aleg !

Surtout que, pour en revenir à cette intégrale proposée, il s'en est fallu d'un cheveu qu'elle ne donne l'indice de $z$ autour d'un chemin bien précisé, c'est-à-dire que nous fallîmes être à la base de la théorie de Cauchy. C'est la raison pour laquelle j'ai utilisé cette théorie (qui, pour moi, reste la meilleure en matière d'analyse complexe, à comparer avec les idées de Riemann et/ou de Weierstrass), et qui, soit dit en passant, ne m'a fait faire {\it aucun} calcul, hormis le changement de variable ci-dessus.

Maintenant, et comme à chaque fois que je prends la parole ici, je ne prétends {\it aucunement} que c'est THE démarche à suivre ! C'est à Racinedecheveux de se faire sa propre opinion...

Borde.

Rassure-toi, Racinedecheveux, il ne s'agit pas d'une attaque en règle concernant ta méthode, et reçois mes félicitations pour avoir obtenu ce résultat alors que tu sors à peine de terminale...

Un {\it chemin} $\gamma : [0,1] \mapsto \C$ entre $a \in \C$ et $b \in \C$ est une application continue, continûment dérivable sur $[0,1]$ telle que $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$.

{\bf Exemples de chemins usuels}. On note $e(x) = e^{2 \pi i x}$.

(i) Segments verticaux : pour tout $t \in [0,1]$, $$\gamma(t) = \mbox{ point \, initial} \pm it \times \mbox {longueur}.$$

(ii) Segments horizontaux : pour tout $t \in [0,1]$, $$\gamma(t) = \mbox{ point \, initial} \pm t \times \mbox {longueur}.$$

(iii) Cercles de centre $\omega \in \C$ et de rayon $r > 0$ : pour tout $t \in [0,1]$, $$\gamma(t) = \omega + r e(\pm t).$$

(iv) Arcs de cercles de centre $\omega$, de rayon $r$, d'angle $\alpha$ : pour tout $t \in [0,1]$, $$\gamma(t) = \omega + r e \left ( \pm \frac {\alpha t}{2 \pi} \right ).$$

Quant au changement de variable, c'est le changement usuel que tu vas bientôt apprendre.

Borde.

A mon souvenir, l'analyse complexe s'aborde très légèrement en spé et se précise en troisième année (et encore il m'a fallu un peu de notions de topologie algébrique pour consolider le tout), donc si tu as un peu de mal au début, dis toi que c'est normal , et sinon passe les ens à la fin de l'année!! ;-)

Juste une petite remarque au sujet de la méthode que j'ai proposé: en terminale, il est tout à fait possible de développer en série entière $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$, et même de justifier l'échange l'intégrale/signe somme, modulo les lacunes en vocabulaire.

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Ok, j'arrive à cette même intégrale.

Le problème est que d'après le cours fonctions holomorphes sur le site (au fait, la définition de l'intégrale complexe y est fausse), la formule serait :
$f(z)*indice(z)= 1/2 i \pi$ avec $f(z)=i/z$ ici.
Ce qui donne un résultat $- \displaystyle { \frac {2 \pi}{z}}$ pour $z$ interne au cercle et 0 sinon non (toujours d'après une remarque dans le cours sur l'indice) ?

Quelque chose ne va pas dans ta formule ci-dessus : si $f$ est analytique dans un ouvert $\Omega \subset \C$ simplement connexe, et si $\gamma$ est un chemin fermé de $\Omega$, alors on a pour tout $z \in \Omega - \gamma \left ( [0,1] \right ) : $$\mbox {ind}(\z; \gamma) \, f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac {f(s) \, ds}{s-z}.$$

Plus généralement, il y a le {\it théorème des résidus}, que je ne recite pas ici, mais que je vais utiliser dans ce qui suit : soit $\displaystyle {I = \int_{|s| = 1} \frac {ds}{s(s-z)}}$.

(i) Si $z$ est interieur au cercle $|s| = 1$, alors la fonction dans l'intégrande a deux pôles simples en $0$ et en $z$, de résidus respectifs $\mbox {Rés} (f ; 0) = -1/z$ et $\mbox {Rés} (f ; z) = 1/z$. La somme des résidus est nulle, et donc $I = 2 \pi i \times 0 = 0$.

(ii) Si $z$ est extérieur au cercle, seul $0$ est un pôle simple, et donc $\displaystyle {I= - \frac {2 \pi i}{z}}$, puis $\displaystyle {iI= \frac {2 \pi}{z}}$.

Si tu as d'autres questions, n'hésite pas.

Borde.

Lire au début : $$\mbox {ind}(z; \gamma) \, f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac {f(s) \, ds}{s-z}.$$

Merci !

Borde.

Il faudrait que tu me mettes le lien vers cette page...

Quant au théorème des résidus, il n'était pas utile pour calculer l'intégrale $\displaystyle {I = \int_{|s| = 1} \frac {ds}{s(s-z)}}$, seule la formule de Cauchy (que j'ai rappelée ci-dessus) suffisait, mais l'avantage du théorème des résidus réside ici dans sa clarté suffisante pour voir pourquoi cette intégrale est nulle dans un cas, et vaut $-2 \pi i / z$ dans l'autre.

A bientôt,

Borde.