surface pour les collègiens ?

Salut,

Je me demande si mon frère qui est en collège me demande d'ou provient l'expression de la surface d'un cercle (disque).

Je pense que je ne peut lui dire grands choses ... quelle honte !

En effet, la construction d'une démonstration de l'expression de la surface d'un cercle, qui soit compréhensible pour les collègiens, me donne du mal !

Comment peut-on démontrer à un collègien que la surface d'un cercle vaut $\pi R^2$, où $R$ est le rayon ?

En effet, j'ai fait tout ce que je pouvais:

Par l'intuition, je ferai remarquer à mon frère que le cercle n'est que le développement infini (00) d'un polygône régulier inscriptible dans le cercle:

J'essais de le convaincre sans preuve (je ne sais pas comment le prouver !?) que la surface d'un triangle vaut la base x la hauteur / 2.

Je lui dirai que la surface d'un polygone régulier à n cotés, est la somme des surfaces de n parties triangulaires identiques, la surface d'une partie vaut $l.h/2=\farc{1}{2}R^2.sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ et donc la surface du polygone inscriptible vaut $\farc{1}{2}n.R^2.sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Et par la suite, je lui dirai que lorsque le n tend vers l'infini, la surface du polygone tend vers la surface du cercle, d'où la surface du cercle vaut:
$$\displaystyle{\lim_{n\longrightarrow\infty}\farc{1}{2}n.R^2.sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)=\piR^2}$$
Est ce que ce raisonnement convaincra vraiment un collègien ?
Si'ils existent des démos plus simples je suis preneur !
Merci
&