C1 - Difféomorphisme démo

deaks · August 2006

Bonjour, j'ai quelques petits légers problèmes pour mes démonstrations, disons que ce n'est pas ma tasse de thé et souvent elles sont un peu brouillon, voire trop rapide
 
 1) Soit un C1-difféomorphisme d'un ouvert U de R^p sur un ouvert V de R^q. Montrer que l'existence d'un tel C^1 - difféomorphisme implique que p = q.
 
 Un C1-Difféomorphisme est par définition une application bijective de U sur V. Supposons que p ≠ q.
 
 Ensuite j'aimerais prendre un point de U tel qu il n'existe pas dans V ... enfin là je m'embrouille un tout petit peu

2) Un C1-difféomorphisme local est-il toujours un C1-difféomorphisme sur son image ? On justifiera la réponse.
 
 Déjà je comprend assez mal ce que signifie un C1-difféo sur son image. la question est C1-difféo local = C1-difféo sur le voisinage V ? Je ne sais pas trop, si des personnes comprennent mieux que moi
 

 Merci d'avoir pris un peu de votre temps pour lire
 et merci déja pour vos réponses

LIautard4 · August 2006

Bonjour

Pour 1) Soit f le difféomorphisme, a un point de U
Soient A et B les applications linéaires tangeantes à f en a et f^-1 en f(a)
que vallent: A*B et B*A ?

Pour 2) Soit l'application t vers exp(it) de R sur le cercle unité :
Est-ce un difféomorphisme : local, global.

Cordialement

deaks · August 2006

1) j'ai un peu de mal à comprendre ce que signifie applications linéaires tangeantes à f en a. C'est le terme tangente qui me dérange, je ne vois pas trop ce que ça représente concrètement.

2) Pour le 2, je dirais que c'est un difféomorphisme local, car exp(i2kPi) est périodique pour le cercle, donc si on ne choisit pas un voisinage, on perdra la bijectivité et donc le difféomorphisme

Ludovic · August 2006

L'application linéaire tangente est la différentielle de ton application.

LIautard4 · August 2006

Bonjour

Pour l'application linéaire tangeante on la désigne aussi sous les noms de dérivée,différentielle...
Sinon comment définis tu une application différentiable?

Pour 2 tu as trouvé la réponse ,il faudrait démontrer que c'est un difféomorphisme local.

Cordialement

Alp · August 2006

Ca ressemble fortement au premier exercice du partiel de calcul diff de licence 3 à Strasbourg ... non?

deaks · August 2006

@Alp : c est exactement je révise pour septembre, donc je cherche mes erreurs de résonement que j'ai fait dans celui de janvier

@Llautard : oki pour le 2), je vais voir pour le 1) avec l'explication de l'appli tangente, c'est vrai que c'est un terme que je n'avais jamais entendu, mais plutôt différentielle

Aleg · August 2006

raisonnement, pas "résonement"...

deaks · August 2006

Je pose <IMG WIDTH="59" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img1.png" ALT="$ f^{-1} = g$"> pour plus de clareté
 <IMG WIDTH="109" HEIGHT="25" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img2.png" ALT="$ U \xrightarrow{f} V \xrightarrow{f^{-1}} U $">
 <IMG WIDTH="109" HEIGHT="25" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img3.png" ALT="$ V \xrightarrow{f^{-1}} U \xrightarrow{f} V $">
 
 <IMG WIDTH="292" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img4.png" ALT="$ A*B = f'(a)*(g'(f(a)) = A \circ B = h'(a) $">
 <IMG WIDTH="286" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img5.png" ALT="$ B*A = g'(f(a))*f'(a) = A \circ B = h'(a)$">
 Comme les deux applications <IMG WIDTH="104" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img6.png" ALT="$ A*B = B*A$"> et <IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img7.png" ALT="$ f$"> étant difféomorphisme, on peut déduire que les deux ensembles <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img8.png" ALT="$ U$"> et <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img9.png" ALT="$ V$"> ont le même nombre d'éléments, donc <IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/23/95493/cv/img10.png" ALT="$ p = q$"> 
 [Tant qu'à écrire en LaTeX, allons jusqu'au bout

AD]

Laurent24 · August 2006

Pour le 2) il faut que ta fonction soit injective...

Ludovic · August 2006

Deaks, on n'a pas A*B=B*A car, en fait, il y a a priori deux fonctions h (on peut facilement les déterminer, non?).

deaks · August 2006

Disons je voyais de cette façon :

A*B = f'(a)*(g'(f(a)) = A o B = h'(a)
B*A = g'(f(a))*f'(a) = B o A = h'(a) avec h : U

> U

A*B = f'(a)*(g'(f(a)) = g'(f(a))*f'(a) = B o A = k'(a) avec k : V

> V

(@Ludovic : vi je viens de voir que ce n'est pas le même h en relisant)

Donc h = k
U a le même nombre d'éléments que V
alors p = q

@Laurent : je ne vois pas trop le rapport avec l'injectivité, comme f est difféomorphime, f et f^-1 sont directement bijectives, et donc injective, et la composition de deux fonctions bijectives, reste bijective, enfin il fallait peut-être que je précise tout cela.

Alain Debreil · August 2006

Je pose $f^{-1} = g$ pour plus de clareté
$U \xrightarrow{f} V \xrightarrow{f^{-1}} U $
$V \xrightarrow{f^{-1}} U \xrightarrow{f} V $

$A*B = f'(a)*(g'(f(a)) = A \circ B = h'(a) $
$B*A = g'(f(a))*f'(a) = A \circ B = h'(a)$
Comme les deux application $A*B = B*A$ et $f$ étant difféomorphisme, on peut déduire que les deux ensembles $U$ et $V$ ont le même nombre d'éléments, donc $p = q$

Ludovic · August 2006

h et k ne sont pas égales. Tu ne le prouves en aucune façon et tu ne le prouvera pas non plus. Par contre, d'après tes hypothèses sur g, ce sont des applications que tu connais.

Que valent $f \circ g$ et $g\circ f$?

deaks · August 2006

Et bien je dirais tout bêtement que
f o g = Id(u) et g o f = Id(v)

Mais là je ne vois pas trop le rapport en fait ...

Après relecture, j'ai vu une de mes erreurs, (et je comprends la question au dessus aussi) en fait :
B*A = g'(f(a))*f'(a) = g o f = id(v)

J'espère que je ne confonds pas les 2

Ludovic · August 2006

B*A n'est pas Id(v) (en tout cas,si tu veux dire l'identité de V, c'est pas ça).

D'une manière générale, il faut savoir parfaitement quels sont les objets que tu manipules. Au pire, il faut finir par le savoir et pas seulement savoir vaguement les manipuler.

deaks · August 2006

J'espère intégrer un jour la catégorie "finir par le savoir"

Laurent24 · August 2006

Deaks, le problème est que ton f est considéré comme un difféomorphisme local et non pas global... donc je voulais dire qu'en fait si f est un difféomorphisme local en chacun de ses points ce n'est pas forcément un difféomorphisme global, voilà...
Cordialement,

Laurent

Ludovic · August 2006

Désolé Deaks, j'ai peut-être été agressif avec toi lors de mes derniers messages. Il faut vraiment que tu comprennes ce qu'est la différentielle d'une application et comment on la caractérise. Pour tes deux exos, ton principal problème est là.

Avec mes élèves de L3, j'ai constaté que beaucoup de mes élèves n'avaient pas l'exigence d'assimiler les définitions et d'axer leur travail sur la compréhension alors que c'est plus que fondamental. Il ne faut pas réduire les maths à une accumulation de méthodes et de techniques.

deaks · August 2006

Disons oui ça a été plutôt agressif, mais c'est aussi une réalité. C'est une matière où j'ai pas mal de mal car il y a énormément de chose à savoir.

Si je n'avais vraiment pas de grosses difficultés de compréhension, je ne poserais pas toutes ces questions, et même avec l'aide de livres, ça aide un peu, mais ça ne permet pas forcément de trouver la bonne réponse. Des fois on pense avoir trouvé le résultat, mais on dit de grosses absurdités complètement fausse, puis ensuite bien sûr on tente de tâtonner pour trouver, car on ne sait plus trop comment chercher et vers quelles directions prendre.

Mais je suis tout à fait d'accord avec ce que tu as dit juste au dessus, mais des fois avec le temps nous presse aussi un petit peu, ce qui fait qu'on tente d'aller directement à l'essentiel, ce qui n'est pas forcément une des meilleurs choses

C1 - Difféomorphisme démo

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