décomposition avec nombres premiers

Bonjour!
Je bloque sur une decomposition en elements simple.
Au debut j'ai considere le polynome :
$\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)}= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!(n-k)!(x+k)}$

Apres je considere le polynome suivant:
$P=\frac{1}{(x+2)(x+3)....(x+p_n)}$
où $p_k$ designe le $n^{ieme}$ nombre premier; mais je bloque
On a un truc du genre: $P= \sum{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1} a_k}{x+p_k}$
Mais je n'arrive pas à determiner l'expression de $a_k$
Si quelqu'un a une idee; merci d'avance.

amicalement :)

Réponses

  • Bonjour!
    Desole il y a deux coquilles; je recopie:

    Bonjour!
    Je bloque sur une decomposition en elements simple.
    Au debut j'ai considere le polynome :
    $\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)}= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!(n-k)!(x+k)}$

    Apres je considere le polynome suivant:
    $P=\frac{1}{(x+2)(x+3)....(x+p_n)}$
    où $p_n$ designe le $n^{ieme}$ nombre premier; mais je bloque
    On a un truc du genre: $P= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1} a_k}{x+p_k}$
    Mais je n'arrive pas à determiner l'expression de $a_k$
    Si quelqu'un a une idee; merci d'avance.

    amicalement :)
  • Bonjour

    Borde pourra répondre mieux que moi; mais je doute de la possibilité d'exprimer ak en fonction de k;

    En effet on ne peut pas algébriquement exprimer le kième nombre premier en fonction de k, seulement sous forme d'équivalents analytiques

    Cordialement
  • Bonjour racinedecheuveux

    Pour $$\prod\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x + p_k }}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{( - 1)^k a_{n,k} }}
    {{x + p_k }}} $$.

    Je conjecture que : $\displaystyle{a_{n,1} = \prod\limits_{i = 2}^n {\left( {p_i - 2} \right)^{ - 1} } ;a_{n,2} = \prod\limits_{i = 3}^n {\left( {p_i - 3} \right)^{ - 1} }}$.

    Pour $k$ au delà de $2$ je ne puis conjecturer pour l'instant.

    Borde nous éclairera sur ce problème je crois.

    Cordialement Yalcin
  • $$\prod\limits_{k = 1}^n \frac{1}{x + p_k } = \sum\limits_{k = 1}^n \frac {( - 1)^k a_{n,k} } {x + p_k } $$
  • Bonjour,

    D'un point de vue algébrique, le calcul se fait directement puisque les pôles sont simples : il suffit d'écrire $$\prod_{k=1}^{n} \frac {1}{x+p_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac {A_{n,k}}{x+p_k},$$ de tout multiplier par $x+p_j$ de chaque côté (avec $1 \leqslant j \leqslant n$), et de prendre la valeur en $-p_j$, ce qui donne : $$A_{n,k} = \prod_{j=1, \, j \not = k}^{n} \left ( p_j - p_k \right )^{-1}.$$

    D'un point de vue arithmétique, je ne pense pas que ce problème soit lié à un problème de théorie des nombres, sauf bien sûr pour le cas $x=0$. Néanmoins, je me suis amusé à detérminer des ordres de grandeur pour la fonction associée, en fixant un entier $N \geqslant 1$ et en prenant $x > N$, ce qui donne (sauf erreur) : $$\prod_{p \leqslant N} \frac {1}{x+p} \ll x^{-N/\ln N}.$$

    Le cas $x=0$ est intimement lié au TNP, puisque $$\prod_{p \leqslant N} \frac {1}{p} = \exp \left (- \theta(N) \right ) = \exp \left ( - N(1+o(1)) \right )$$ d'après le TNP, où, rappelons-le, $\theta(x) = \sum_{p \leqslant x} \ln p$ est la première fonction de Tchebichef.

    Borde.
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