densité

gogolito · August 2006

Bonjour,

Je suis en train de faire un sujet de maths,et je me pose une question qui m'aiderait bien si son contenu était correct :

Si un ensemble A est dense dans R^n, est il vrai que son complémentaire dans R^n est un ensemble dénombrable?
Si oui, ce qui parait intuitif, comment le montre-t-on?

La question du pb est : soit U et V 2 ouverts denses de R^n. Montrer que U inter V est encore un ouvert dense de R^n.

J'ai commencé par prouvé que U inter V était ouvert et non vide, et que s'il n'était pas dense dans R^n, alors, il y aurait une boule ouverte non vide (donc non dénombrable) incluse dans CU ou CV qui est un ensemble dénombrable (CU : complémentaire de U dans R^n..) si la proposition énoncée plus haut est juste.

Voilà, pourriez-vous m'aider, merci beaucoup, et voyez vous une résolution simple de la question ^posée?

Eric · August 2006

$\Q$ est dense dans $\R$ et son complémentaire est bien sur dénombrable ?

Domi · August 2006

Il me semble que $\Q$ est dense dans $\R$ et que l'ensemble des irrationnels n'est pas dénombrable .

Domi

Pilz · August 2006

C'est faux $\Q^n$ est dense dans $\R^n$ mais son complémentaire n'est pas dénombrable !

Pour résoudre ton problème :

pour montrer que $U \cap V$ est dense , il suffit par définition de montrer qu'il rencontre tout ouvert de $\R^n$, soit $W$ un ouvert de $\R^n$.
Alors $U \cap W$ est un ouvert non vide et $V \cap (U \cap W)$ est un ouvert non vide également ( $V$ est dense donc rencontre tous les ouverts, en particulier $U \cap W$ ) donc $(U \cap V) \cap W$ est un ouvert non vide ( associativité de l' intersection ), d' où le résultat

majdi · August 2006

Salut,
Contre-exemple élémentaire: $\Q$ est dense dans $\R$ et son complémentaire $\R \backslash \Q$est indénombrable.

gogolito · August 2006

ok, merci.

densité

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