Matrice Stochastiques

Il est stable par produit, il me semble...

Tu peux aussi regarder du côté de la représentation de Hardy, Polya, Littlewood et de la notion de majorisation (<a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=194301&t=187329"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=194301&t=187329</a>)<BR&gt;

Pour une autre démonstration du théorème de Birkhoff (utilisant le théorème de Frobenius-König), tu peux aller voir dans Prasolov, Problems and theorems in linear algebra. Comme application du théorème de Birkhoff, tu as le théorème de Hoffman-Wieland.

Je te recopie ma traduction de cette partie du Prasolov.


\begin{theorem}[Hoffman-Wielandt]
Soit $A$ et $B$ des matrices normales et soit $\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n}$ et $\beta_{1},\dotsc,\beta_{n}$
leurs valeurs propres respectives. On a alors
\begin{equation*}
\lvert\lvert A-B\lvert\lvert_{e}^{2}\geq\min_{\sigma}\sum_{i=1}^{n}(\alpha_{\sigma(i)}-\beta_{i})^{2},
\end{equation*}
où le minimum est pris sur l'ensemble des permutations $\sigma$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Soit $A=V\Lambda_{a}V^{*}$, $B=W\Lambda_{b}W^{*}$, où $V$ et $W$ sont des matrices unitaires et $\Lambda_{a}=\diag(\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n})$, $\Lambda_{b}=\diag(\beta_{1},\dotsc,\beta_{n})$. On a
\begin{equation*}
\lvert\lvert A-B\lvert\lvert_{e}^{2}=\lvert\lvert W^{*}(V\Lambda_{a}V^{*}-W\Lambda_{b}W^{*})W\lvert\lvert_{e}^{2}=\lvert\lvert U\Lambda_{a}U^{*}-\Lambda_{b}\lvert\lvert_{e}^{2},
\end{equation*}
où $U=W^{*}V$. De plus,
\begin{align*}
\lvert\lvert U\Lambda_{a}U^{*}-\Lambda_{b}\lvert\lvert_{e}^{2}&=\mathrm{tr}(U\Lambda_{a}U^{*}-\Lambda_{b})(U\Lambda_{a}^{*}U^{*}-\Lambda_{b}^{*})\\
&=\mathrm{tr}(\Lambda_{a}\Lambda_{a}^{*}+\Lambda_{b}\Lambda_{b}^{*})-2\mathrm{Re}\left(\mathrm{tr}\,(U\Lambda_{a}U^{*}\Lambda_{b}^{*})\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n}(\lvert\alpha_{i}\lvert^{2}+\lvert\beta_{i}\lvert^{2})-2\sum_{i,j=1}^{n}c_{ij}\mathrm{Re}(\overline{\beta}_{i}\alpha_{j}).
\end{align*}
Puisque la matrice $\begin{Vmatrix}
c_{ij} \\
\end{Vmatrix}$, où $c_{ij}=\lvert u_{ij}\lvert^{2}$, est doublement
stochastique, on a
\begin{equation*}
\lvert\lvert A-B\lvert\lvert_{e}^{2}\geq\sum_{i=1}^{n}(\lvert\alpha_{i}\lvert^{2}+\lvert\beta_{i}\lvert^{2})-2\min\sum_{i,j=1}^{n}c_{ij}\mathrm{Re}(\overline{\beta}_{i}\alpha_{j}),
\end{equation*}
où le minimum est pris sur l'ensemble des matrices $C$ doublement stochastiques. On a trouvé pour un ensemble fixé de scalaires $\alpha_{i},\beta_{j}$ le minimum d'une application linéaire sur un polyèdre convexe dont les sommets sont des matrices de permutation. Ce minimum est atteint en un des sommets, i.e., pour une matrice $c_{ij}=\delta_{i,\sigma(i)}$. Dans ce cas,
\begin{equation*}
2\sum_{i,j=1}^{n}c_{ij}\mathrm{Re}(\overline{\beta}_{i}\alpha_{j})=2\sum_{i=1}^{n}c_{ij}\mathrm{Re}(\overline{\beta}_{i}\alpha_{\sigma(i)}).
\end{equation*}
D'où,
\begin{equation*}
\lvert\lvert A-B\lvert\lvert_{e}^{2}\geq\sum_{i=1}^{n}\left(\lvert\alpha_{\sigma(i)}\lvert^{2}+\lvert\beta_{i}\lvert^{2}-2\mathrm{Re}(\overline{\beta}_{i}\alpha_{\sigma(i)})\right)=\sum_{i=1}^{n}\lvert\alpha_{\sigma(i)}-\beta_{i}\lvert^{2}.
\end{equation*}
\end{proof}


\begin{theorem}[Théorème]
Soit $x_{1}\geq\dotsb\geq x_{n}$ et $y_{1}\geq\dotsb\geq y_{n}$, où $x_{1}+\dotsb+x_{k}\leq y_{1}+\dotsb+y_{k}$ pour tout $k