Groupe de type fini

Lebesgue0 · July 2006

Bonjour,

Est-ce que tout sous-groupe d'un groupe de type fini est de type fini ?
Si le groupe est abélien, je pense que oui car on considère le morphisme universel d'un groupe libre à n éléments, etc. Par contre, si le groupe n'est pas abélien, est-ce que l'histoire du groupe libre marche encore ? (c'est pas très clair pour moi tout ça).

Merci

Lebesgue

josé · July 2006

Bonjour Lebesgue,
je ne suis plus très sûr mais il me semble que l'on peut procéder comme ça :
on montre que $G$ est de type fini si et seulement si il existe une surjection de $\Z^n\rightarrow G$ puis on utilise le fait qu'un sous groupe de $\Z^n$ est de la forme $\Z^m$ avec $m\leq n$ pour conclure ...

josé · July 2006

Je m'excuse, ce que je viens d'écrire ne marche comme tu l'as dis que pour les groupes abéliens.
Je viens de trouver un contre-exemple dans Arnaudies-Fraysse (Tome 1, Ex7 p.158)

majdi · July 2006

Bonjour, tu peux nous donner le contre-exemple stp. Merci.

josé · July 2006

ok...
Soit $G$ le sous groupe de $GL(2;\R)$ engendré par
$\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$ et $\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$
il est de type fini puis on considère le sous ensemble de $G$ formé des matrices $\left(
\begin{array}{ccc}
1 & c \\
0 & 1
\end{array}
\right)$
C'est un sous groupe de $G$ qui n'est pas de type fini. (La démo complète est evidement plus longue)

majdi · July 2006

Tiens c'est marrant je ai eu cet exo en juin dans mon partiel d'algèbre.+

bosio frederic0 · July 2006

Il y a des exemples assez simple de groupes qui ne sont pas de type fini et se plongent dans des groupes de type fini.

Il y a bien sur le groupe libre a une infinite denombreble de generateurs qui se plonge dans le groupe libre a deux generateurs.

J'aime bien l'exemple suivant dit "groupe de l'allumeur de reverberes" qui est resoluble et de type fini. C'est le produit semi-direct de $(\Bbb Z /2 \Bbb Z )^{(\Bbb N )}$, c'est-a-dire le sous-groupe de $(\Bbb Z /2 \Bbb Z )^{\Bbb N }$ forme des elements n'ayant qu'un nombre fini de $1$, groupe qui n'est pas de type fini, par $\Bbb Z $, ce dernier agissant naturellement sur $(\Bbb Z /2 \Bbb Z )^{(\Bbb N )}$ par decalage des indices.

Notons que ce groupe n'est pas polycyclique, c'est a dire qu'il n'est pas construit par extensions succesives de groupe abeliens de type fini.

Lebesgue0 · July 2006

$\Z/2\Z [X]$ en somme ...

Gecko · July 2006

Bonjour bosio fredéric
la question a peut etre un rapport lointain.. mais pourquoi le nom de "groupe de l'allumeur de reverbère"? (il une opéartion de groupe ou quelques choses du genre...?
merci

Airy0 · July 2006

Juste une petite remarque :

Une condition suffisante pour qu'un sous groupe de type fini soit de type fini est qu'il soit d'indice fini.

Sauf erreurs.

Airy.

Gakusei0 · July 2006

Bonsoir

@Bosio Frederic:
J'ai un doute. Ne s'agirait-il pas plutôt de $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{(\mathbb{Z})}$ sur lequel $\mathbb{Z}$ peut agir par décalage des indices?

Gakusei

ps: C'est mon premier message, j'espère que le LateX est bien passé.

bosio frederic0 · August 2006

Oui, effectivement, il faut mettre $\Bbb Z $ a la place de $\Bbb N $ dans mon message precedent, je devais pas etre en forme en ecrivant cela.

On l'appelle le groupe de l'allumeur de reverberes (lamplighter's group en anglais) car on peut se le representer comme suit : On a une infinite de reverberes alignes sur une droite (dans les deux sens, c'est-a-dire qu'on peut penser que chaque point de $\Bbb Z $ est un reverbere). De plus, on a un allumeur (on peut se le representer par un petit curseur, place devant un reverbere). Et en fait, l'allumeur peut effectuer deux actions (qui correspondent aux deux generateurs du groupe) : L'une est d'allumer (ou d'eteindre) le reverbere place devant lui, l'autre est de changer de reverbere (en allant a droite ou a gauche). Le morphisme surjectif sur $\Bbb Z $ est simplement donne par la position de l'allumeur et le noyau de ce morphisme est donne par l'etat de tous les reverberes (lorsqu'il est revenu a son point de depart). Il est clair qu'il n'a pu en allumer qu'un nombre fini, mais chacun est independant des autres, donc ce noyau n'est pas de type fini.

dSP0 · August 2006

Mon exemple à moi :

dans le groupe de permutations $\mathfrak{S}(\Z)$, on considère le sous-groupe $G$ engendré par la transposition $\tau_{0,1}$ et le décalage $\sigma : k \mapsto k+1$.

Par des arguments standards, on voit que $G$ contient toutes les transpositions de $\Z$. Le groupe $H$ des permutations de $\Z$ à support fini est donc un sous-groupe de $G$. Bien entendu, $H$
n'est pas de type fini.

Groupe de type fini

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