suite et série

gogolito · July 2006

Bonjour,
Je fais le sujet du capes d'analyse de 2006, et je bloque sur une question, je tourne en rond, en vain:

soit (un) une suite de réels positifs tels que la série de terme général un soit convergente, et pr tout n entier, on pose:
vn = somme( uk, k=n+1 à + infini).

On fait d'abord justifier que pour tout n non nul on a :
somme (k*uk, k = 1 à n) = somme(vk, k = 0 à n-1) - n*vn

là, pas de problème!

voici ou je bloque:
"Montrer que si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général n*un converge".

J'ai beau tout essayer, je n'y arrive pas. Pourriez vous me donner un coup de main? merci d'avance et bonne journée.

bosio frederic0 · July 2006

Je crois qu'il faut simplement resommer les termes de la serie des $v_n $ dans un autre ordre (comme les $u_n $ sont positifs, il n'y a pas de probleme a inverser les sommes), ou on regarde combien de fois chaque $u_i $ apparait dans la somme des $v_n $ (en gros, il apparait dans $v_n $ si $n \leq i$, donc apparait en tout $i$ fois (a une pres peut-etre).

Rouliane · July 2006

Bonjour,

Je me permets de poster ici, pour une question en rapport avec la première question de gogolito, à savoir montrer que :

$$\\
\sum_{k =1}^n kU_k = \sum_{k=0}^{n-1}V_k - nV_n\\
$$\\

Je suis parti du terme de droite, et j'arrive à :
$$\\
\sum_{k=0}^{n-1}V_k - nV_n = \sum_{k =1}^n U_k +\sum_{k =2}^n U_k + ... + \sum_{k =n-1}^n U_k +U_n \\
$$\\

Ensuite, on "voit" bien que dans ces sommes, on va avoir une fois le terme $U_1$ , $2$ fois le terme $U_2$ , .... , $n$ fois le terme $U_n$ , mais je n'arrive pas à rédiger correctement à partir de là.
Faut-il faire un changement d'indice dans chaque somme ?

Disons que je n'arrive pas à arriver proprement à l'écriture :
$$\\
\sum_{k=0}^{n-1}V_k - nV_n = \sum_{k =1}^n kU_k \\
$$\\

Merci d'avance pour votre aide, et désolé à gogolito d'utiliser son post pour cette question ...

Rouliane

[Utilisateur supprimé] · July 2006

Pour gogolito:
On a puisque les $v_n$ sont tous positifs et la serie de $v_n$ converge:
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^nku_k=\sum_{k=0}^nv_n-nv_n\\
&\le&sum_{k=0}^{+\infty}v_n-nv_n\\
&\le&sum_{k=0}^{+\infty}v_n
\end{eqnarray*}
La suite $\sum_{k=1}^nku_k$ est une suite croissante majoree donc convergeante

Joaopa

gogolito · July 2006

Merci, c'était vraiment simple, je suis aveugle !!!

Rouliane · July 2006

Personne pour répondre à mon post de 13:36 ?

((

[Tu aurais mieux fait de créer un nouveau sujet ! AD]

suite et série

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