Suite à minorer

Tristan-0 · July 2006

Bonsoir, on me demande de montrer que la suite de terme général $\ n(\sqrt[n]a-1$), où $a>1$, est décroissante et minorée mais je n'arrive à rien de bon. Une bonne âme aurait-elle la gentillesse et le temps de m'aider ? Merci d'avance.

Deux7182811 · July 2006

Minorée par 0 non ?
Décroissante : une étude de la fonction associée peut-être ? pour n>ln(a), ça a l'air de marcher.

Gecko · July 2006

salut
tu peux etudier les variations de $f(n)=\ n(\sqrt[n]a-1)$ definie pour n>0
$(\sqrt[n]a=\exp..)$

Tristan-0 · July 2006

Effectivement on s'en sort avec une étude de fonction, mais le texte voulait apparement faire passer par un autre chemin. Entre parenthèse il y'avait l'indication suivante : poser $t=\frac{a}{n(n+1)}$. Cela vous donne-t-il une idée ?

thierry2 · July 2006

il me semble que u(0) = 0 et u(1)=a-1 donc u(1)>u(0).
Pour la décroissance, ce n'est donc pas gagné, non ?
A moins que ce ne soit décroissante à partir du rang n = 1 ?

Auquel cas il me semble qu'on peut étudier les variations d'une fonction f telle que f(n)=u(n) :

f(x)=x(a^(1/x)-1)

en dérivant.

En attendant, montrer qu'elle est bornée ne pose pas de problème vu qu'elle converge (vers ln(a), par équivalence).

P.Fradin · July 2006

Ce n'est surement pas ce qui était demandé mais la fonction $f:x\mapsto \frac{a^x-1}x$ est le taux d'accroissement en 0 d'une fonction convexe, donc f est croissante sur $]0;+\infty[$ et par conséquent la suite $f(\frac1n)$ est décroissante (et même minorée par $f'(0)$).

P.Fradin · July 2006

Rectificatif: minorée par $\lim\limits_{x\to0} f(x)$.

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