Somme d'une série

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Réponses

  • Eric
    Eric
    Pour revenir à la question initiale, voici la solution proposée dans Problems in Mathematical Analysis, vol. 1, de Kaczor et Nowak, AMS, 2000 (exercice 3.1.4.a)


    On a
    \begin{align*}
    u_{n}&=\frac{1}{n(n+1)\dotsm(n+r)}\\
    &=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{n(n+1)\dotsm(n+r-1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)\dotsm(n+r)}\right).
    \end{align*}
    D'où, $S_{n}=\dfrac{1}{r}\left(\dfrac{1}{1\times2\times\dotsb\times r}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)\dotsm(n+r)}\right)$ et $S=\dfrac{1}{rr!}$.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    C'est la solution (classique) proposée par Jean Lismonde le du 19/7
  • Eric
    Eric
    Effectivement, mais j'ai tendance à zapper les calculs lorsqu'ils ne sont pas en Latex. Mon message visait aussi une autre question d'egoroff, à savoir que l'exercice s'il n'est pas "classique" est connu puisque déjà publié.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    A mon avis, il doit être publié depuis au moins Euler, et probablement bien avant.
    PS: vous avez tort de zapper ce qui n'est pas en Latex. Vous auriez manqué ce que Fermat a écrit dans sa fameuse marge.
  • egoroff
    egoroff
    On s'absente quelques jours et il s'en passe des choses.. plus ou moins agréables. Je ne vais réagir que sur les plus agréables.


    Nougy : Il me semble qu'écrire $(n+1)u_{n+1}-nu_n$ revient à la solution proposée par jean Lismonde et par Eric. Me trompé-je ? Cela dit ton idée sur l'application de Raab-Duhamel peut être fructueusement généralisée à toute série de la forme $\sum f(n)$ où $f$ est une fraction rationnelle, ou même lorsqu'on connaît deux termes du développement asymptotique de $f$ en $+\infty$ selon une échelle sympathique et que $\lim \frac{f(n+1)}{f(n)}=1$.


    Che : Effectivement on peut passer par la décomposition en éléments simples du terme général, c'est ce que j'avais fait, et je l'explique rapidos dans ma réponse à Sylvain datée du 19 juillet à 19h13 heure du forum. Cela dit c'est laborieux, et il vaut oublier cette idée au vu des solutions plus élégantes proposée par jean Lismonde et Eric d'une part, et P.Fradin d'autre part.


    Eric et Oump : Merci pour les références. Oump, sais-tu par hasard si ces vieux sujets des ENS sont disponibles quelque part ? Ce doit être une mine d'or pour les exos...


    Domi et Oump : Je n'avais jamais pensé à cette distinction critère/règle. Si ça peut vous rassurer, pour moi les critères qui sont en fait des règles ont toujours été des conditions suffisantes, notamment celui de d'Alembert. Et, si je puis me permettre, le critère de Cauchy est toujours une condition nécéssaire, mais il est une condition suffisante seulement dans un espace complet.


    Benoît : Merci beaucoup pour ce lien, que je me suis empressé de mettre dans mes favoris. Outre l'illustration du principe évoqué par RAJ, on trouve dans l'ensemble du cours beaucoup de choses intéressantes et pas seulement pour les informaticiens et les analystes numériques.
  • oumpapah0
    oumpapah0
    Pour Egoroff

    On est d'accord : la propriéte de Cauchy est nécessaire en général..

    Et dire qu'un espace est complet équivaut par définition à ce qu'on ait "le critère de Cauchy"

    No pb de vocabulaire donc..

    ( à propos de suites de Cauchy, je rappelle l'intérêt des "suites de Cauchy spéciales" à savoir les suites telles que la série de terme général
    d(x_n,x_(n+1)) soit convergentes;
    Toute suite spéciale est de Cauchy et la réciproque est fausse ; cependant de toute suite de Cauchy on peut extraire une suite spéciale ;
    d'où techique intéressante pour montrer qu'un espace est complet :
    Il suffit de montrer la convergence des suites spéciales.
    Un ex : un espace vectoriel normé est complet ssi la convergence d'une série équivaut à la convergence de la série des normes.)

    Oump.
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