utilisation du théoreme d'Ascoli

Jane0 · July 2006

Bonjour,

Je bute sur un exercice dans lequel je dois utiliser Ascoli.
Il s'agit d'un problème de Cauchy

dx/dt=x² et x(o)=1

comme x² n'est pas lipschitzienne on ne peut pas utiliser Cauchy Lipschtz

Soit T>0. On se propose de montrer alors que la suite des (xk) est une suite croissante de fonctions continues et positives sur [0,T] , puis on introduit x une solution du problème. On doit montrer qu'elle majore tous les xk sur [0,T].

On demande ensuite en utilisant Ascoli de montrer que les xk convergent uniformément vers la solution du problème sur [0,T].

C'est donc là que je bloque.
D'après Ascoli, je peux extraire une sous-suite de (xk) qui converge. Cette sous-suite a la même limite que (xk). Mais comment peut-on dire que cette limite est la solution du problème ?
J'ai pensé à un autre raisonnement :
Puisque (xk) est croissante et majorée, je peux dire qu'elle est convergente.
Les itérées de Picard s'écrivent x(k+1)(t)=x0+intégrale de xk(t).
Donc en passant à la limite et en utilisant Lebesgue on a exactement une expression de la solution du problème de Cauchy qui s'écrit x(t)=x0+intégrale de 0 à t de x²(t).

Bon je pense que mon raisonnement doit être faux puisque je n'ai pas utilisé Ascoli. Mais je ne vois pas vraiment comment faire, donc si vous pouviez m'aider !
Merci !

Gecko · July 2006

Salut Jane..
Pour le théoreme de Lipshitz il suffit que la fonction soit lipstizienne par rapport à la variable d'espace pour avoir existence et unicité.
Mais là c'est encore mieux : ta fonction f(t,x) est C^1 donc tu peux appliquer ce théorème ici.

Gecko · July 2006

lipsstizienne LOCALEMENT... Sinon ce que j'ai dit ca ne veut rien dire (comme souvent)

Jane0 · July 2006

Oui d'après ce théorème j'ai existence et unicité locale. Mais est-ce que cela implique forcement que mes xk tendent vers cette solution ?

Et est-ce que mon raisonnement est bon ?

Mais ce que j'aimerais c'est résoudre cet exo comme on me le demande, c'est à dire en utilisant Ascoli. Je ne vois pas trop trop comment l'appliquer ici.

Gecko · July 2006

Salut Jane
Si tu appliques Ascoli, tu l'appliques à des fonctions définies ici sur un intervalle [0,a]. Tout d'abord, est-ce que tes fonctions xk vérifient les hypothèses du théorème d'Ascoli ?
Ensuite une fois que le théorème est appliqué, ce que tu obtiens, c'est que la suite de fonctions extraites des itérées converge vers UNE solution du problème (elle vérifie l'équation intégrale).
Ce qui laisse penser qu'à un moment tu dois montrer que la solution du problème est unique (et cette solution est continue sur tout [0,b] où b<A à bien choisir, ce que tu parviens à faire en résolvant l'équation ici).

Jane0 · July 2006

Donc si j'ai bien compris, comme la suite de fonctions extraites des itérées converge vers UNE solution et que la suite des xk converge (parce qu'elle est croissante et majorée), et qu'elles ont une même limite et forcement la suite des xk tend vers la solution du problème.

Cela doit être évident mais je ne le vois pas... Mais comment voit-on que la suite extraite des itérées converge vers la solution ? Elle vérifie quelle équation intégrale ?

Gecko · July 2006

elle vérifie cette equation:
y(t)=x0+intégrale de y^2(t)
fais tout de meme attention car il faut que t<1

Jane0 · July 2006

mais quelle est la relation entre la suite extraite et la solution? je suis d'accord que la solution doit forcement verifier cette equation mais qu'est ce qui nous dit que cette suite extraite tend vers cette solution?

je suppose qu'il faut que t<1 car les xk tendent vers l'infini quand k tend vers l'infini.

mais comment on voit ça?

Gecko · July 2006

Effectivement...
Le théoreme d'Ascoli permet je pense ici de montrer que la fonction limite de la suite extraite est dérivable.
En revanche tu as pas ailleurs montré que la suite est convergente pour la norme infinie. Et c'est cette dernière suite qui montre que tes fonctions vérifient l'équation ci-dessus.
Par unicité de la limite je pense qu'on peut conclure.

Jane0 · July 2006

Je suis désolée mais je n'ai pas vraiment compris ton dernier post.
J'en suis toujours au point où je me demande pourquoi la suite extraite tendrait vers une limite qui est cette solution.

J'ai ma suite extraite qui converge, ensuite je fais quoi? a-t-on son expression ? Si oui je dois passer à la limite ?

Gecko · July 2006

Ok je reprends :
1) Tu as montré que la suite (x_k) converge sur [0,a] , a<1 vers une fonction f1
et la convergence ici se fait pour la norme infinie.
2) En outre tu as montré par le théorème d'Ascoli qu'une suite extraite de (x_k) converge vers une fonction f2 qui elle, est dérivable.

Par unicité de la limite f1=f2.

Maintenant le point 1) montre également que f1 vérifie y(t)=x0+intégrale de y^2(t) sur [0,a] et que f est bornée.
le point 2) lui te permet de voir que f1' est bornée aussi sur le même intervalle.

A partir de là, tu conclu que f1 est la solution de l'équation.
(car la solution est unique d'après Cauchy Lipshsitz)

Jane0 · July 2006

les conditions pour dire que f1 est une solution sont que:
- f1' soit bornée?
- f1 verifie l'equation integrale?
c'est un theoreme? (je suis d'accord pour la deuxieme condition)

et pourquoi le premier point verifie l'equation integrale? il ne le verifie à partir du moment où on sait que f1 est bien une solution du probleme. or c'est ce que l'on veut montrer.

Gecko · July 2006

si f1' n'est pas bornée l'équation n'a plus de sens
...
f1 verfie l'equation intégrale parceque l'application f->xo+inégrale x^2 de 0 à t est continue pour la norme infinie sur [0,t] ensuite (x_k+1)et (x_k) ont meme limite.

Gecko · July 2006

continue en f1...

Jane0 · July 2006

concernant l'unicité de la limite je me demandais si on pouvait dire que si une suite converge simplement vers une limite a, et que sa suite extraite converge uniformement vers b, on peut dire que la suite converge uniformement vers b?

car on a la convergence uniforme implique convergence simple mais pas l'inverse si je ne me trompe.

utilisation du théoreme d'Ascoli

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