six équations à six inconnues.

Oui, j'ai tenté de faire exactement ce que tu as dit. Le problème, c'est que même avec les trois premières expressions on obtient des pages et des pages de calcul (j'ai fait la première détermination (avec une équation) à la main, les suivantes avec mathematica).
Lorsque j'ai tenté d'injecter les infos pour la 4ème équation, mathematica m'a sorti un truc de plusieurs écrans de long...

Je donne la première équation transformée, où on détermine $\frac{1}{a^2}$ en fonction du reste des paramètres. Lorsqu'on veut injecter dans la seconde équation, c'est carrément mortel à la main (et de toute façon je l'ai fait avec mathematica, sans résultat probant).

$\frac{1}{a^{2}}=\frac{\left(b^{2}c^{2}A-b^{2}\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)^{2}-c^{2}\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}\right)}{b^{2}c^{2}\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta}$

Je continue d'espérer de résoudre le problème en me disant que mathematica est surtout bon pour le calcul linéaire et qu'il n'est pas forcément capable de résoudre un tel truc...

Pour rire : la troisième équation transformée pour extraire $\beta$ :

$\beta=\arccos\sqrt{\frac{b^{2}c^{2}\left(1-Ca^{2}\right)}{b^{2}c^{2}-\left(a^{2}b^{2}\cos^{2}\gamma+a^{2}c^{2}\sin^{2}\gamma\right)}}$

J'ai des frissons dans le dos rien qu'en imaginant devoir réinjecter ça dans les autres équations...
Bref, c'est l'horreur et je vois pas comment faire.

Merci !

*errata : il fallait lire "connue, d'une ellipsoide centrée et orientée"*

Je suis effectivement parti de cette forme.

Bon voici l'idée complète (j'aurais du commencer par ça, comme quoi vouloir être trop concis n'est pas une bonne idée).

On sait qu'une ellipsoïde en 3D, non orientée, suit la formule suivante\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{eq:EllipseNonOrientee}\end{equation}
On peut appliquer les différentes rotations induites par les orientations
connues. L'ordre des rotations important, on a décidé (arbitrairement)
d'effectuer d'abord la rotation suivant $\alpha$, puis la rotation
suivant $\beta$ et enfin la rotation suivant $\gamma$. \\
La matrice de rotation correspondant à $\alpha$ (rotation autour
de l'axe des $z$) est \[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
0 & 0 & 1\end{array}\right),\]
celle de $\beta$ (rotation autour de l'axe des $y$) \[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos\beta & 0 & -\sin\beta\\
0 & 1 & 0\\
\sin\beta & 0 & \cos\beta\end{array}\right),\]
et celle de $\gamma$ (rotation autour de l'axe des $x$) \[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\gamma & -\sin\gamma\\
0 & \sin\gamma & \cos\gamma\end{array}\right).\]
Ainsi, à partir d'un vecteur quelconque $\left[\begin{array}{ccc}
x & y & z\end{array}\right]^{\textrm{T}}$ de l'ellipsoïde non-orientée,
on peut déterminer le nouveau vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{ccc}
x' & y' & z'\end{array}\right]^{\textrm{T}}$ de l'ellipsoïde orientée (mais toujours centrée) : \begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\left[\begin{array}{c}
x'\\
y'\\
z'\end{array}\right] & = & \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\gamma & -\sin\gamma\\
0 & \sin\gamma & \cos\gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\cos\beta & 0 & -\sin\beta\\
0 & 1 & 0\\
\sin\beta & 0 & \cos\beta\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
0 & 0 & 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}
x\\
y\\
z\end{array}\right]\end{array},\label{eq:rotation2}\end{equation}
ce qui donne\[
\left\{ \begin{array}{rcl}
x' & = & x\cos\beta\cos\alpha-y\cos\beta\sin\alpha-z\sin\beta\\
y' & = & x\left(\cos\gamma\sin\alpha-\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha\right)+y\left(\cos\gamma\cos\alpha+\sin\beta\sin\gamma\sin\alpha\right)-z\sin\gamma\cos\beta\\
z' & = & x\left(\sin\gamma\sin\alpha+\sin\beta\cos\gamma\cos\alpha\right)+y\left(\sin\gamma\cos\alpha-\sin\beta\cos\gamma\sin\alpha\right)+z\cos\gamma\cos\beta\end{array}\right..\]
En réinjectant le nouveau vecteur dans (\ref{eq:EllipseNonOrientee}),
on obtient [
Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz=1\]
avec \[
A=\frac{\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta}{a^{2}}+\frac{\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}}{b^{2}},\]
\[
B=\frac{\cos^{2}\beta\sin^{2}\alpha}{a^{2}}+\frac{\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(\cos\gamma\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}}{b^{2}},\]
\[
C=\frac{\cos^{2}\beta\cos^{2}\gamma}{c^{2}}+\frac{\sin^{2}\beta}{a^{2}}+\frac{\cos^{2}\beta\sin^{2}\gamma}{b^{2}},\]
\[
{\displaystyle \begin{array}{rcl}
D & = & \frac{1}{c^{2}}\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)\left(\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta\right)-\frac{1}{a^{2}}\cos\alpha\cos^{2}\beta\sin\alpha\\
& & +\frac{1}{b^{2}}\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)\left(\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right),\end{array}}\]


\[
E=\frac{\cos\beta\cos\gamma\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)}{c^{2}}-\frac{\cos\alpha\cos\beta\sin\beta}{a^{2}}-\frac{\cos\beta\sin\gamma\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)}{b^{2}},\]
\[
F=\frac{\cos\beta\sin\alpha\sin\beta}{a^{2}}+\frac{\cos\beta\cos\gamma\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)}{c^{2}}+\frac{\cos\beta\sin\gamma\left(\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)}{b^{2}}.\]

Et il se trouve que, par un autre biais, j'ai la connaissance des valeurs de A,B,C,D,E et F. Voilà toute l'histoire
Maintenant, je me trompe peut-être sur ma façon de faire. Notamment, les rotations peuvent être redéfinies (c'est purement arbitraire).

Gecko, je parlais de mettre z=0 dans le cas paramétrique. on continue à faire évoluer x et y suivant les deux paramétres u et v, mais z reste nul. Cela permet "d'applatir" l'ellipsoide. J'aimerai obtenir la même chose à partir de l'équation générale non paramétrique, mais étant que ce n'est pas pas une fonction, c'est balèze !

Bisam : je vais tenter de faire ça, et je reviens pour vous tenir au courant de mes avancées.

Gari.

PS : Ce qui m'étonne en fait, c'est que ce que je cherche à faire n'ait jamais été fait... Pourtant, ça me parait assez "classique".