six équations à six inconnues.

Salut à tous,

ça fait un sacré bail que je ne suis pas passé sur le forum (j'ai honte) et mon retour n'est certes pas désintéressé.
Je me retrouve depuis 2 jours avec un système énorme à résoudre, et je dois avouer ne pas y arriver (le "Solve" de mathematica n'y est pas arrivé non plus).

Réponses

  • Désolé, petite erreur de manipulation...


    Donc, voici le fameux système d'équations.

    Le but, bien sûr, est d'écrire $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ en fonction de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$.

    Les variables sont $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$.
    \\
    $a$, $b$ et $c$ sont des réels positifs. \\
    $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma$ sont des réels variant dans $[0,\pi[$.
    \\
    $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ sont des données connues réelles
    positives. \\
    La solution est unique et elle existe. \\


    \[
    A=\frac{\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta}{a^{2}}+\frac{\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}}{b^{2}},\]
    \[
    B=\frac{\cos^{2}\beta\sin^{2}\alpha}{a^{2}}+\frac{\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(\cos\gamma\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}}{b^{2}},\]
    \[
    C=\frac{\cos^{2}\beta\cos^{2}\gamma}{c^{2}}+\frac{\sin^{2}\beta}{a^{2}}+\frac{\cos^{2}\beta\sin^{2}\gamma}{b^{2}},\]
    \[
    {\displaystyle \begin{array}{rcl}
    D & = & \frac{1}{c^{2}}\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)\left(\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta\right)-\frac{1}{a^{2}}\cos\alpha\cos^{2}\beta\sin\alpha\\
    & & +\frac{1}{b^{2}}\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)\left(\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right),\end{array}}\]


    \[
    E=\frac{\cos\beta\cos\gamma\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)}{c^{2}}-\frac{\cos\alpha\cos\beta\sin\beta}{a^{2}}-\frac{\cos\beta\sin\gamma\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)}{b^{2}},\]
    \[
    F=\frac{\cos\beta\sin\alpha\sin\beta}{a^{2}}+\frac{\cos\beta\cos\gamma\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)}{c^{2}}+\frac{\cos\beta\sin\gamma\left(\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)}{b^{2}}.\]
  • As-tu essayé à déterminer $\frac{1}{a^2}$, $\frac{1}{b^2}$ et $\frac{1}{c^2}$ en fonction de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ avec les 3 premières et de les réinjecter dans les 3 suivantes? il faut ensuite linéariser tes expressions et prier très fort pour que ça se simplifie.

    Tu peux aussi linéariser tous les termes d'abord.

    Vu que tu nous précises pas ce que tu as fait, c'est dur de faire mieux.
  • Ca sort d'une situation géométrique ?
    En savoir un peu plus ne pourrait-il pas nous aider ?
  • Oui, j'ai tenté de faire exactement ce que tu as dit. Le problème, c'est que même avec les trois premières expressions on obtient des pages et des pages de calcul (j'ai fait la première détermination (avec une équation) à la main, les suivantes avec mathematica).
    Lorsque j'ai tenté d'injecter les infos pour la 4ème équation, mathematica m'a sorti un truc de plusieurs écrans de long...

    Je donne la première équation transformée, où on détermine $\frac{1}{a^2}$ en fonction du reste des paramètres. Lorsqu'on veut injecter dans la seconde équation, c'est carrément mortel à la main (et de toute façon je l'ai fait avec mathematica, sans résultat probant).

    $\frac{1}{a^{2}}=\frac{\left(b^{2}c^{2}A-b^{2}\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)^{2}-c^{2}\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}\right)}{b^{2}c^{2}\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta}$

    Je continue d'espérer de résoudre le problème en me disant que mathematica est surtout bon pour le calcul linéaire et qu'il n'est pas forcément capable de résoudre un tel truc...

    Pour rire : la troisième équation transformée pour extraire $\beta$ :

    $\beta=\arccos\sqrt{\frac{b^{2}c^{2}\left(1-Ca^{2}\right)}{b^{2}c^{2}-\left(a^{2}b^{2}\cos^{2}\gamma+a^{2}c^{2}\sin^{2}\gamma\right)}}$

    J'ai des frissons dans le dos rien qu'en imaginant devoir réinjecter ça dans les autres équations...
    Bref, c'est l'horreur et je vois pas comment faire.

    Merci !
  • En fait, je suis parti de la forme générale d'une ellipsoïde 3D (centrée et non-orientée), et j'ai appliqué trois rotations successives suivant les angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ (respectivement autour des axes en $z$, $y$ et $x$).
    J'obtiens alors la formule suivante (connue, d'une ellipsoide en 3D centrée et non-orientée) :

    $Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Exz+2Fyz=1$

    où A, B, C, D, E et F vous sont déjà donnés.
    Mon problème, c'est que je connais déjà ces coefficients (A,B,C,D,E,F) et que je cherche à en déduire les longueurs des axes de l'ellipsoide (a,b,c) et ses orientations ($alpha$,$beta$ et $gamma$).
    Il faut donc "inverser" le système... Et là, je plante :(

    Maintenant, si vous connaissez une autre méthode pour y arriver... C'est à dire, en parlant de l'équation parfaitement connue, déterminer les paramétres de l'ellipsoide... Je serai à la fois très heureux de l'apprendre et dégoûté d'être parti dans une voie sans issue !
  • *errata : il fallait lire "connue, d'une ellipsoide centrée et orientée"*
  • Salut Gari,

    Et si tu essayais pour commencer de te ramener à une équation de la forme $\dfrac{X^2}{a^2}+\dfrac{Y^2}{b^2}+\dfrac{Z^2}{c^2}=1$ par changements de variables affines dans l'équation ? Je dis ça sans avoir réfléchi à une méthode mais c'est ce qu'on fait en deux dimensions alors ça doit sûrement marcher en trois dimensions. Et pour les orientations il sera toujours temps d'y réfléchir plus tard.
  • Je suis effectivement parti de cette forme.

    Bon voici l'idée complète (j'aurais du commencer par ça, comme quoi vouloir être trop concis n'est pas une bonne idée).

    On sait qu'une ellipsoïde en 3D, non orientée, suit la formule suivante\begin{equation}
    \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.\label{eq:EllipseNonOrientee}\end{equation}
    On peut appliquer les différentes rotations induites par les orientations
    connues. L'ordre des rotations important, on a décidé (arbitrairement)
    d'effectuer d'abord la rotation suivant $\alpha$, puis la rotation
    suivant $\beta$ et enfin la rotation suivant $\gamma$. \\
    La matrice de rotation correspondant à $\alpha$ (rotation autour
    de l'axe des $z$) est \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
    \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
    0 & 0 & 1\end{array}\right),\]
    celle de $\beta$ (rotation autour de l'axe des $y$) \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    \cos\beta & 0 & -\sin\beta\\
    0 & 1 & 0\\
    \sin\beta & 0 & \cos\beta\end{array}\right),\]
    et celle de $\gamma$ (rotation autour de l'axe des $x$) \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    0 & \cos\gamma & -\sin\gamma\\
    0 & \sin\gamma & \cos\gamma\end{array}\right).\]
    Ainsi, à partir d'un vecteur quelconque $\left[\begin{array}{ccc}
    x & y & z\end{array}\right]^{\textrm{T}}$ de l'ellipsoïde non-orientée,
    on peut déterminer le nouveau vecteur de coordonnées $\left[\begin{array}{ccc}
    x' & y' & z'\end{array}\right]^{\textrm{T}}$ de l'ellipsoïde orientée (mais toujours centrée) : \begin{equation}
    \begin{array}{rcl}
    \left[\begin{array}{c}
    x'\\
    y'\\
    z'\end{array}\right] & = & \left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    0 & \cos\gamma & -\sin\gamma\\
    0 & \sin\gamma & \cos\gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    \cos\beta & 0 & -\sin\beta\\
    0 & 1 & 0\\
    \sin\beta & 0 & \cos\beta\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
    \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
    0 & 0 & 1\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}
    x\\
    y\\
    z\end{array}\right]\end{array},\label{eq:rotation2}\end{equation}
    ce qui donne\[
    \left\{ \begin{array}{rcl}
    x' & = & x\cos\beta\cos\alpha-y\cos\beta\sin\alpha-z\sin\beta\\
    y' & = & x\left(\cos\gamma\sin\alpha-\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha\right)+y\left(\cos\gamma\cos\alpha+\sin\beta\sin\gamma\sin\alpha\right)-z\sin\gamma\cos\beta\\
    z' & = & x\left(\sin\gamma\sin\alpha+\sin\beta\cos\gamma\cos\alpha\right)+y\left(\sin\gamma\cos\alpha-\sin\beta\cos\gamma\sin\alpha\right)+z\cos\gamma\cos\beta\end{array}\right..\]
    En réinjectant le nouveau vecteur dans (\ref{eq:EllipseNonOrientee}),
    on obtient :\[
    Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz=1\]
    avec \[
    A=\frac{\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta}{a^{2}}+\frac{\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}}{b^{2}},\]
    \[
    B=\frac{\cos^{2}\beta\sin^{2}\alpha}{a^{2}}+\frac{\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(\cos\gamma\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)^{2}}{b^{2}},\]
    \[
    C=\frac{\cos^{2}\beta\cos^{2}\gamma}{c^{2}}+\frac{\sin^{2}\beta}{a^{2}}+\frac{\cos^{2}\beta\sin^{2}\gamma}{b^{2}},\]
    \[
    {\displaystyle \begin{array}{rcl}
    D & = & \frac{1}{c^{2}}\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)\left(\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta\right)-\frac{1}{a^{2}}\cos\alpha\cos^{2}\beta\sin\alpha\\
    & & +\frac{1}{b^{2}}\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)\left(\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right),\end{array}}\]


    \[
    E=\frac{\cos\beta\cos\gamma\left(\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma\right)}{c^{2}}-\frac{\cos\alpha\cos\beta\sin\beta}{a^{2}}-\frac{\cos\beta\sin\gamma\left(\cos\gamma\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)}{b^{2}},\]
    \[
    F=\frac{\cos\beta\sin\alpha\sin\beta}{a^{2}}+\frac{\cos\beta\cos\gamma\left(\cos\alpha\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta\right)}{c^{2}}+\frac{\cos\beta\sin\gamma\left(\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\right)}{b^{2}}.\]

    Et il se trouve que, par un autre biais, j'ai la connaissance des valeurs de A,B,C,D,E et F. Voilà toute l'histoire :)
    Maintenant, je me trompe peut-être sur ma façon de faire. Notamment, les rotations peuvent être redéfinies (c'est purement arbitraire).
  • Je pense qu'il serait beaucoup plus judicieux d'opérer la réduction de la quadrique directement à partir de la matrice, non ?
  • Salut
    peut-etre tu peux trouver le premier axe principal et maximisant
    $Ax^2+By^2+Cy^2+Dxy+Eyz+Fzx$ sous la contrainte $x^2+y^2+z^2=1$
    peut etre en minimisant ( ca je suis beaucoup moins sûr) un autre axe principal, et tu recuperes la deuxieme direction avec un produit vectoriel.
  • J'ai essayé de partir de l'équation "orientée"
    $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz=1$
    pour revenir à l'équation classique de l'ellipsoïde, ça n'a pas marché (je crois que c'est ce que tu proposais bisam, ou alors j'ai pas compris).

    Gecko, je crois comprendre ce que tu proposes, par contre je ne vois pas comment faire. Je suis trop nul en maths :(

    Par contre, question subsidiaire : à partir de l'équation orientée
    $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz=1,$
    est-il possible de déterminer la projection de cette ellipsoïde sur le plan (x,y) ?
    J'ai déjà réussi en mode paramétrique (aucune difficulté, il suffit de retirer le paramètre z). Par contre, je ne vois pas trop comment obtenir l'équation du projeté à partir de l'équation que je viens de vous donner. Toute micro-indication sera la bienvenue !

    Merci encore,

    Gari.
  • Salut
    je pense que ta derniere question est mal formulée ou il y a une incomprehension:
    qu'entends tu par enlever z dans l'equation.. z=0?
    si c'est ca ce que tu obtiens c'est l'equation cartesienne de l'intersection de ta quadrique avec le plan (O,x,y) qui n'est pas de facon évidente une projection.

    $\{{Ax^2+By^2+Cy^2+Dxy+Eyz+Fzx \atop z=0} $


    D'ailleurs en parlant de la projection s'agit t'il d'un projection orthogonale ou pas?

    ps: un modérateur pourrait rendre le systéme plus joli ca fait vraiment tres ecrasé je trouve , merci d'avance AD a priori.
  • Fais une petite recherche sur la "réduction des matrices symétriques réelles" et la "classification des quadriques"... et normalement, tu devrais trouver ton bonheur (malheureusement je crains que dans le cas général, les formules qui donnent les valeurs que tu cherches ne soient de toute façon horribles et inutilisables)
  • Gecko, je parlais de mettre z=0 dans le cas paramétrique. on continue à faire évoluer x et y suivant les deux paramétres u et v, mais z reste nul. Cela permet "d'applatir" l'ellipsoide. J'aimerai obtenir la même chose à partir de l'équation générale non paramétrique, mais étant que ce n'est pas pas une fonction, c'est balèze !

    Bisam : je vais tenter de faire ça, et je reviens pour vous tenir au courant de mes avancées.

    Gari.

    PS : Ce qui m'étonne en fait, c'est que ce que je cherche à faire n'ait jamais été fait... Pourtant, ça me parait assez "classique".
  • Bonjour.

    Gari, je n'ai toujours pas compris pourquoi tu appelles "équation orientée" l'équation cartésienne de ta quadrique.

    Maintenant, pour obtenir le contour apparent de ta quadrique dans une direction donnée, c'est très facile : il suffit d'obtenir l'équation cartésienne du cylindre dont l'axe possède la direction donnée. Je prends le cas simple du contour dans la direction de l'axe des cotes ; une droite parallèle à cette axe est caractérisée par les équations $x = x_0$ et $y = y_0$. Une droite de cette famille est tangente à la quadrique si, et seulement si l'équation aux cotes des points d'intersections :$$Ax_0^2 + By_0^2 + Cz^2 + 2D\,x_0y_0 + 2(E\,x_0 + F\,y_0)\,z - 1 = 0$$a une solution double. Écrivons que le discriminant réduit de cette équation est nul :$$(E\,x_0 + F\,y_0)^2 - C(A\,x_0^2 + B\,y_0^2 + 2D\,x_0y_0 - 1) = 0$$nous tenons là une équation cartésienne du cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des cotes et qui est tangent à la quadrique. La courbe :$$\left\{\begin{array}{rcl}(E\,x + F\,y)^2 - C(A\,x^2 + B\,y^2 + 2D\,xy - 1) &= &0 \\ z &= &0\end{array}\right.$$est la projection orthogonale de l'ellipsoïde sur le plan de cote nulle.

    Bruno
  • On peut également travailler en coordonnées homogènes pour obtenir le cône tangent à la quadrique issu d'un point donné, c'est également très simple.

    Bruno
  • Merci Bruno, c'est exactement ce que je cherchais. Ce qui m'énerve le plus là dedans, c'est que c'est de mon niveau... Mais alors JAMAIS je n'aurais pu penser à ça ! C'est clair, simple et sobre... Un beau résultat mathématique comme je les aime...
  • De rien. Ce sont des restes de la taupe (63) :-)

    Bruno
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.