Périodicité de t-> exp(it)

Tom-0
Tom-0
dans Analyse
Bonjour,

en partant de la définition de exp z comme somme de la série de terme général z^n/n!, comment prouve-t-on que la fonction t -> exp it est 2Pi périodique ? (je n'ai pas trouvé dans les cours du site)

Réponses

  • //e
    //e
    On peut prouver par développement que exp(ix) = cos(x) + i sin(x), puis ça vient par périodicité trigonométrique. J'ai bon ?
  • kilébo
    kilébo
    Voir le préambule du Rudin !
  • Guimauve0
    Guimauve0
    Comment définis-tu $\pi$ ?
  • Tom-0
    Tom-0
    //e : le problème c'est que cos x et sin x sont définies comme étant parties réelles et imaginaires de exp ix donc on tourne en rond

    Guimauve : je pense que si on montre que t-> exp it est périodique on peut définir Pi en disant que 2Pi est la plus petite période de cette fonction.

    Reste à montrer que cette fonction est périodique et c'est là ma question.
  • Parseval
    Parseval
    On montre que $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$, on définit $\pi$ comme étant le plus petit réel positif tq: $e^{i\pi}=-1$, et donc $2\pi$ la fonction est $2\pi$-périodique. J'me trompe ?
  • Tom-0
    Tom-0
    Oui mais qu'est-ce qui nous prouve qu'il existe un tel réel ?
  • Parseval
    Parseval
    Euuuh, en étudiant les variations de cos et sin ?
  • Sisbai
    Sisbai
    Salut

    On montre que la fonction $x\rightarrow \cos x$ s'annule sur $\R_+$.
    On appelle m le plus petit réel tel que $\cos m = 0$.
    On pose alors $\pi=2m$.

    Ensuite avec les relations :
    $e^{a+b}=e^a.e^b$ et $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
    (qu'on démontre uniquement en travaillant sur les séries) on obtient successivement :

    $\cos \frac{\pi}{2}=0$,

    $\sin \frac{\pi}{2}=1$,

    $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$,

    $e^{i\pi}=-1$,

    $e^{2i\pi}=1$,

    et donc $e^{z+2i\pi}=e^z$


    a+
  • Sisbai
    Sisbai
    Oups des réponses entre temps ...

    $\cos 0=1>0$

    Si la fonction $x\rightarrow \cos x$ne s'annulait pas sur $\R_+$, on aurait $\cos x>0$ et la fonction $x\rightarrow \sin x$ serait strictement croissante sur $\R_+$.

    Soit $a>0$. $\forall x>a, \sin x\geq\sin a>0$ d'où, en posant $f_a(x)=\cos x+x\sin a$, $f'_a(x)\geq 0$. Donc $f_a$ est décroissante, ce qui est absurde puisque $f_a$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$.

    L'existence du nombre $m$ s'en suit.

    a+
  • Sisbai
    Sisbai
    il faut lire $f'_a(x)\leq 0$ (désolé !)
  • Bruno
    Bruno
    Pour fournir une référence bibliographique, la périodicité et la définition de $\pi$ sont écrit avec précision dans "Théorie des fonctions analytiques" de H. Cartan (102 ans depuis le début du mois).

    Bruno
  • Tom-0
    Tom-0
    Merci à vous tous :)
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