Caractéristique d'un corps

pour ta demo, ca me semble bon..

je n'ai pas d'exemple en tete

il suffit de voir que tous corps de caracteristique $p\neq 0$ contient un sous corps isomorphe a $\mathbb{F}_p$, donc peut s'ecrire comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel de dimension $r$. par suite, il est de dimension $p^r$

Warf ! J'ai signé comme un porc après avoir vérifié l'aperçu. Lire la signature en bas, bine sûr.

(Et si je puis me permettre, lire également de {\it cardinal} $p^r$ dans le post de jobhertz).

Permets-toi, Manuel !! Merci de la correction...

[Corrigé dans le message en question. AD]

Pour donner un énoncé un peu plus précis, je dirais qu'un corps est soit de caractéristique nulle, et auquel cas il contient un sous-corps isomorphe à $\mathbb{Q}$ et en particulier il est infini, soit il est de caractéristique non nulle, et alors cette caractéristique est un nombre premier $p$ et (le corps peut etre fini ou infini cette fois)

En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.

Je crois qu'un autre exemple de corps infini de caractéristique finie est
$\bigcup_{n \in \N} \mathbb{F}_{p^{n!}}$.

En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.

Fp[T] n'est pas un corps , il faut inverser T .

Toto, il est toujours un peu délicat d'écrire une union d'ensembles qui ne sont pas {\it a priori} contenus dans un même sur-ensemble...

Ici une bonne façon d'écrire ce à quoi tu penses est de remarquer pour commencer qu'il existe un unique morphisme d'inclusion entre $\mathbb{f}_{p^{n!}}$ et $\mathbb{f}_{p^{(n+1)!}}$, puis de parler de la limite inductive du système ainsi défini.

Dans le même ordre d'idée, on peut considérer la limite inductive du système formé de tous les $\mathbb{F}_{p^n}$ et des morphismes évidents de $\mathbb{F}_{p^n}$ dans $\mathbb{F}_{p^m}$ quand $n$ divise $m$. Ce corps est algébriquement clos et connu sous le doux nom de $\overline{\mathbb{F}_p}$.

C'est d'ailleurs une façon classique (en nommant ou pas la limite inductive) de construire une clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$ à l'agreg.

Manuel.

Bon, d'une part il y a eu trois réponses le temps que je rédige, et d'autre part pour $\mathbb{f}$, lire $\mathbb{F}$ bien sûr...

Pour l'exemple "de base", je voulais juste rajouter qu'il n'y a pas que $T$ à inverser dans $\mathbb{F}_p[T]$, et que par ailleurs c'est vraiment l'exemple le plus simple que je connaisse (en y réfléchisant bien, les fractions rationelles sont connues en 3ème), vu que c'est l'extension non-algébrique la plus petite qui soit de $\mathbb{F}_p$, et que les extensions algébrique infinies sont un peu plus délicates à construire, comme mentionné dans mon post précédent.

Manuel, ce terme de limite inductive m'étant peu familier, peux-tu nous rappeler ce que cela décrit ?
En fait, dans l'exemple que j'ai cité, j'ai vu une autre façon de faire montrant que l'ensemble que j'ai noté avec une union est un corps infini de caractéristique finie, peut-être m'a-t-on parlé implicitement de limite inductive ?
J'aimerais quelques éclaircissements sur cette notion, si cela ne te gêne pas bien entendu

disons que le mot limite inductive m'est étranger.

Le plus classique des corps non commutatifs en carac. finie:les quaternions sur $\mathbb F_q$

Joaopa

On est pas a ca près: $\mathbb F_q(T)$.

Joaopa

Exact, y'a des quaterions sur $\mathbb F_q$. Mais le truc marrant, comme c'est un corps fini, il est ......

Joaopa

Je corrige un détail : les quaternions sur Fq c'est certes encore fini.....mais le problème c'est que ce n'est pas un corps ! La forme "norme" représente zéro et les non nuls n'ont pas d'inverse.

lolo (sauf erreur)

Re,

Chose promise, chose due : un petit aparté sur la notion de limite inductive.

On appelle système inductif une famille $(A_i)$ d'objets munis de morphismes $f_{ij} : A_i \to A_j$ telle que :
(1) il y a au plus un morphisme d'un objet de la famille dans un autre ;
(2) on peut composer les morphismes sans en créer de nouveaux.

La condition 2 signifie, que si chaque fois que dans la famille on a des morphismes $f_{ij} : A_i \to A_j $, $f_{jk} : A_j \to A_k$ et $f_{ik} : A_i \to A_k$, on doit avoir $f_{ik} = f_{jk} \circ f_{ij}$.

Pour un tel système, une (éventuelle) limite inductive est un objet $L$ muni d'une collection de morphismes $f_i : A_i \to L$ tel que :
(a) Pour tout morphisme $f_{ij}: A_i \to A_j$ du système inductif, on a $f_j = f_i \circ \f_{ij}$.
(b) pour tout objet $L'$ muni d'une collection de morphismes $f'_i : A_i \to L'$ satisfaisant à la condition (a), il existe un unique morphisme $g :L \to L'$ tel que $f'_i = g \circ f_i$.

Selon la catégorie dans laquelle on se place, les limites inductives existent ou pas : dans la catégorie des ensembles, celle des groupes abéliens (ou modules sur un anneau), elles existent. Dans celle des anneaux, elle n'existe pas en général (on n'a pas de quotients), mais peut exister dans des cas particuliers. Quand la limite existe, elle est unique à isomorphisme unique près.

Bon, tout ça a l'air très compliqué, mais il faut penser à des cas simples. Par exemple, en tant que $k$-espaces vectoriels, on peut considérer la famille des $k[X]_{\leq n}$ (espace des polynçomes de degré au plus $n$), munie des morphismes d'inclusion naturels entre eux. On vérifie que c'est bien un système inductif. La limite inductive de ce système existe et est $k[X]$. On remarque que la condition (b) est essentielle pour l'unicité, car par exemple $kX$ ou $k(X)$ vérifient aussi la condition (a) (on a d'ailleurs des inclusions canoniques de $k[X]$ dans ces derniers).

Ainsi, quand les morphismes sont des injections, on peut penser à la limite inductive comme étant le (un) plus petit ojets contenant tout les objets de départ. Quand les objets de départs sont tous sous-objets d'un même objet, ça s'appelle une [réunion pour des ensembles / somme pour des groupes]. Quand on souhaite justement construire l'objet en question qui va tous les contenir (ici, $\overline{\mathbb{F}_p}$), on ne peut pas formellement parler de réunion et on utilise la limite inductive.

Dans les cas où les morphismes ne sont pas injectifs, ça peut être plus compliqué, mais pas toujours. Exemple (avec des groupes abéliens) : $A_1 = A_2 = 2\Z$, $A_3 = \Z$, avec les seuls morphismes $f_{13} : x \mapsto 0$ et $f_{23} : x \mapsto x$. La limite inductive s'appelle ici $\Z/2\Z$. (Le vérifier en exo !)

Ainsi, la limite inductive est une notion pas si compliquée, et plutôt puissante (elle généralise pas mal de trucs). Pour en lire plus dessus : algèbre de Lang (dans mon édition (2ème américaine), c'est I.1.9)), ou je crois aussi que c'est fait de façon assez claire dans Atiyah-MacDonald (en anglais), ou tout bon bouquin d'algèbre commutative (il doit y avoir un Lafon qui fait ça).

Désolé pour le pavé,
Manuel.

Merci bien Manuel !

Non, par exemple, F_8 est de caractéristique 2 Mais n'est pas F_2.

Par contre dans un corps de caractéristique p (p premier), on a bien

(x+y)^p=x^p+y^p.

et ça marche meme si p est impair.

$\mathbb{F}_8$ est bien un corps. Justement ce n'est pas $\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}$.


Il y a une infinité de corps de caractéristique 2, donc $\mathbb{F}_2$ mais ce n'est pas le seul.

En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.

Tu trouves 2=0 dans le corps en question, mais je ne vois pas la contradiction puisque tu as supposé que ton corps est de caractéristique 2. Tout est bien qui finit bien quoi.

Si $p$ est premier, $\mathbb{F}_p$ est l'unique corps à p éléments. Il est isomorphe à Z/pZ (qui est un corps).

En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.

La fin de lien et l'ISBN ne sont pas passé, revoilà l'ISBN : 2225815011

$\mathbb{F}_4 = \{0, 1, a, a+1 \}$

En effet, merci d'avoir rectifié. Parce que si on n'en demande pas l'irréductibilité, je crois que je connais au moins 3 autres polynômes de degré 2 dans cet anneau

Hum... j'ai peur que ce soit un rien plus compliqué, ou que j'aie mal compris. Si $U_i$ et $U_j$ sont deux cartes locales, je ne vois pas trop (en général) de flèche $U_i \to U_j$, mais plutôt des flèches de $U_i \cap U_j$ vers $U_i$ et vers $U_j$. Il semble donc qu'il faille préciser un peu l'expression "changement de cartes".

Sinon, j'aime bien cette façon de voir, qui donne un nouvel exemple du cas où la limite inductive sert à construire un objet à partir de ses morceaux, objet qu'on peut voir après-coup comme la réunion desdits morceaux.