triangles
Réponses
-
Tu peux voir ces points comme barycentres des sommets par exemples.
-
Dans le cas des hauteurs d'un triangle, tu peux considerer l'homothetie de rapport -2 centree au centre de gravite du triangle. Le triangle est transforme en un triangle plus grand et les hauteur dont tu es parti sont les mediatrices du grand triangle. Donc elles sont concourrantes.
-
J'aime tout particulièrement la méthode de Gauss-Ampère rappelée il y a peu par Oumpapah . Par chaque sommet du triangle , on mène une parallèle au côté opposé . Les hauteurs du triangle initial sont les médiatrices du nouveau triangle donc concourantes .
Domi -
Je viens de me rendre compte que la méthode proposée par frederic est la même que celle de Gauss-Ampère , seul le vocabulaire change . Belle démonstration en tout cas !
Domi -
c'est effectivement une tres belle demo!!
merci -
Niveau lycée, il y a une méthode que j'aime bien, pour les hauteurs, elle repose sur une formule attribuée quelque fois à Euler bien que ce soit impossible. Soient quatre points deux à deux distincts $A,\ B,\ C$ et $M$ ; alors :$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.$$On applique ceci avec $M$ point d'intersection de deux hauteurs.
Pour les médiatrices, c'est la caractérisation métrique de celles-ci qui fait tourner la démo ; c'est sans doute la première démonstration de géométrie dans le cursus scolaire.
Bruno -
En quatrième (tant que ce chapitre existe, profitons-en), j’aime bien prouver l’existence de l’orthocentre avec cette ruse des médiatrices.
Je prouve aussi l'intersection des médiatrices (et des bissectrices) avec une preuve en six étapes sans texte mais avec des couleurs (un peu comme présenté dans le Décimale 4e, page 164 de l’édition verte de 1998).Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Au niveau 4ème , on peut même prouver que les médianes sont concourantes mais , personnellement je le réserve aux 3èmes , les vecteurs aidant un peu ( il y en a qui bavent d'impatience ) .
Domi -
Les médianes se prouvent au niveau quatrième avec un symétrique, deux droites des milieux et un parallélogramme.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
bonjour,
ces propriétés étaient, il n'y a pas si longtemps, démontrées dans le cours de géométrie plane, livre 1, au programme de 3ème je pense, (élèves de 15 - 16 ans)
salutations -
Bonjour, comme l'écrit @paulDH, ces propriétés étaient démontrées dans le cours de géométrie plane. Mais comme j'ai toujours été un cancre, j'ai oublié. Aussi je propose une autre méthode : en barycentriques dans le triangle de base $(a,b,c)$:$A\simeq 1:0:0, B\simeq 0:1:0, BC\doteq B\times C\simeq [1,0,0]$, son point à l'infini $\delta_{BC}\doteq [1,0,0]\times [1,1,1]\simeq [0: -1 :1]$, la polaire de ce point est une droite orthogonale à $BC$, $BC_{orth}\doteq pyth* (0: -1:1)\simeq [b^2-c^2,a^2,-a^2]$, le point à l'infini de cette polaire est $\delta_{BC_{orth}}\simeq[2a^2,-2S_c,-2S_b]$. Donc la hauteur $h_A$ issue de $A$ est $$h_A\doteq\delta_{BC_{orth}}\times[1,0,0]\simeq [0,-S_b,S_c]$$(etc.)On a alors $$det(h_A,h_B,h_C)=0$$autrement écrit "les hauteurs sont concourantes"$.\square$Quant à $H$ leur point de concours(qu'on pourra baptiser "orthocentre", ou $X(4)$(voir ETC), $$\boxed{X(4)\doteq h_A\times h_B\simeq [S_{bc}::]\simeq [\frac1{S_a}::]}$$____________1) Vérification des calculs : https://www.geogebra.org/classic/pg6dcq8q2) voir ici pour les notations de Conway3) Pour le \doteq $\doteq$, le \simeq $\simeq$, $pyth$, ... , voir ici.
-
Bonjour, @Chaurien,J'imagine que le fait que l'orthocentre a pour coordonnées barycentriques $[\frac1{S_a}::]$ est bien connu depuis au moins le 19è siècle. Comment établir ce résultat plus simplement qu'en utilisant l'orthopoint d'une droite comme ci-dessus? J'ai la démonstration de deux pages écrits petit d'Yvonne et René Sortais p. 108-109 de La géométrie du triangle mais vue la simplicité de ce qu'il y a au-dessus, j'ai la flemme de la lire.Cordialement, Stéphane.PS: comme j'y parviens, vu que @pldx1 évalue mon niveau fort justement à un niveau de Quatrième ayant du mal à passer en Troisième, je pense qu'on peut effectivement proposer cette démonstration aux élèves de Quatrième, à condition qu'elle soit acceptable bien sûr
_____________$a\doteq BC, S_a=\frac12(b^2+c^2-a^2)$(etc) -
Pour les médiatrices, on peut utiliser directement le travail précédent : on a prouvé que $$BC_{orth}\simeq[b^2-c^2,a^2,-a^2]\text{}(etc.)$$Alors $$\boxed{O=X(3)\doteq BC_{orth}\times CA_{orth}\simeq [a^2S_a::]}$$___________________1) Vérification : https://www.geogebra.org/classic/pg6dcq8q2) Les médianes sont laissées en exercice.
-
Bonjour à tousJe propose la méthode suivante basée sur la défunte théorie des fonctions scalaires de Leibnitz, lesquelles on le sait engendrent l'espace des cercles, une bonne raison pour les bannir à tout jamais de notre enseignement secondaire!Je considère la fonction :$$f_A(M)=MB^2 -MC^2$$C'est une fonction de Leibnitz et la hauteur issue de $A$ est la ligne de niveau:$$f_A(M) =AB^2-AC^2=c^2-b^2$$D'autre part un fait moins connu (dans la mesure où la notion d'espace affine a pratiquement disparu de nos tablettes):$f_A$ est une fonction affine, (diable, quesaco que ces fonctions bizarroïdes?)Donc si $M$ est un point de coordonnées barycentriques homogènes $(x:y:z)$, on a donc:$$(x+y+z)f_A(M)=xf_A(A)+yf_A(B)+zf_A(C)=(c^2-b^2)x-a^2y+a^2z$$L'équation en coordonnées barycentriques homogènes de la hauteur issue de $A$ est donc:$(c^2+a^2-b^2)y-(a^2+b^2-c^2)z$Edit: typo dû à des copier-coller, corrigé! Merci RescassolLes équations des deux autres hauteurs s'obtiennent en faisant les permutations circulaires simultanées: $x\mapsto y\mapsto z\mapsto x$ et $a\mapsto b\mapsto c\mapsto a$.On voit aisément (?) alors que les trois hauteurs sont concourantes au point $H(x:y:z)$ tel que:$$(b^2+c^2-a^2)x=(c^2+a^2-b^2)y=(a^2+b^2-c^2)z=0$$AmicalementpappusPSReprendre la même méthode pour le calcul des coordonnées barycentriques homogènes du centre du cercle circonscrit $O$, (i.e: former l'équation des médiatrices).
-
La concourance des bissectrices intérieures, des médiatrices, des hauteurs et des médianes, c'est faisable en Quatrième, bien sûr à ce niveau sans coordonnées barycentriques (surtout avec les notations ésotériques de @stfj ), ni calcul vectoriel, ni matrices $3 \times3$, il va sans dire !Les coordonnées barycentriques des points remarquables obtenus par ces concourances constituent une question très intéressante, mais qui est distincte de leur existence et qui viendra par la suite dans l'enseignement, mettons en Seconde, ou en Première, ou après.Pour les bissectrices intérieures et les médiatrices, il est sans doute superflu de rappeler que le point obtenu est celui qui est équidistant des côtés (resp. des sommets).Pour les hauteurs, on se ramène aux médiatrices du triangle « double » (antimédial) comme il a été rappelé ci-dessus. Il n'est pas nécessaire de parler d'homothétie.Pour les médianes, on a deux démonstrations élémentaires, voir par exemple :bien sûr sans vecteurs à ce niveau.Il y a aussi une démonstration avec les aires.Le calcul sur les points assimilés à des vecteurs, que certains ont découvert avant-hier, est très joli, mais n'est pas adapté à ce niveau. On le trouve déjà dans un petit livre : Raoul Bricard, Le calcul vectoriel, Armand Colin 1929. C'est dans les vieilles marmites qu'on fait la meilleure soupe.Bonne soirée.Fr. Ch.
-
Pour l'orthocentre, il y a une autre démonstration, niveau Troisième.Quels que soient les points distincts $A$ et $B$ et le réel $k$, l'ensemble $\Delta$ des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=k$ est une droite perpendiculaire à la droite $AB$. Ça peut se faire sans vecteurs, avec Pythagore, niveau Troisième.Si $A,B,C$ sont des points non alignés, l'ensemble $\Delta_A$ des points $M$ du plan tels que $MB^2-MC^2=AB^2-AC^2$ est donc la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $A$. Et l'ensemble $\Delta_B$ des points $M$ du plan tels que $MC^2-MA^2=BC^2-BA^2$ est la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$. Ces deux droites se coupent en un point $H$, qui vérifie : $HB^2-HA^2=CB^2-CA^2$, et qui est donc sur la hauteur $\Delta_C$ issue du sommet $C$.
-
Bonsoir,
Pappus, une typo: $(b^2+c^2-a^2)x=(c^2+a^2-b^2)y=(a^2+b^2-c^2)z=1$ et non $=0$.
Cordialement,
Rescassol
-
Bonjour,L'orthocentre, comme le centre de gravité, n'est plus au programme du collège, il me semble. Et même à mon époque, c'était juste une illustration, possible que je l'ai oublié, mais pas souvenir d'avoir vu une démonstration à l'époque.Donc autant le faire quand on veut avec les outils qu'on veut, je vous informe que la totalité des lycéens et lycéennes d'aujourd'hui n'en ont jamais entendu parler alors ... faites bien comme vous voulez si vous voulez l'introduire en hors programme.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
-
Il se trouve que je démontre cette propriété depuis des années en cinquième. Ton affirmation " la totalité des lycéens et lycéennes d'aujourd'hui n'en ont jamais entendu parler" est donc manifestement fausse. Tu sembles confondre le quantificateur $\exists$ et le quantificateur $\forall$...
-
D'accord, tu as raison, la quasi totalité des lycéens et lycéennes n'en ont ont jamais entendu parler ou l'ont oublié si tu préfères. Cette fois, je suis certaine que ma phrase est vraie
La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley) -
Bonjour,Tous les élèves adorent les médianes, hauteurs, bissectrices et médiatrices. Le constat que ces droites remarquables sont concourantes leur donne à juste titre l'impression d'être pris pour des êtres intelligents. Il n'est donc pas surprenant qu'on supprime cela des programmes pour le remplacer par l'étude de SCRATCH créé pour des enfants de 8 ans. Rabaisser les élèves les prépare à être humiliés dans le monde du travail pour être mieux sous-payés.Cordialement, Stéphane.
-
Attention @stfj tu vas te faire rouspéter pour avoir employé le mot "tous" car il y aura forcément des contre-exemples.
La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley) -
Oui, tu as raison : j'aurais dû préciser : tous les élèves hors le lumpenproletariat
-
Salut à tousRescassol a dit :Bonsoir,
Pappus, une typo: $(b^2+c^2-a^2)x=(c^2+a^2-b^2)y=(a^2+b^2-c^2)z=1$ et non $=0$.
Cordialement,
Rescassol
certainement par inattention $'=0'$ s'est glissée alors qu'il veut préciser que les coordonnées homogènes sont inversement proportionnelles à $(b^2+c^2-a^2),(c^2+a^2-b^2),(a^2+b^2-c^2) $ donc pas de '=1'mais $(b^2+c^2-a^2)x=(c^2+a^2-b^2)y=(a^2+b^2-c^2)z $cordialementRH HAS
-
Il est malvenu de dire à un théoricien des nombres que l'on n'écrit pas 1+1=2 dans Z/3 mais $\bar1+\bar1=\bar2$Par ailleurs, concernant la question de @pappus sur les fonctions affines, $$f_A(M)=(B-M)^2-(C-M)^2=B^2-C^2-2(B-C)M$$Donc $$f_A(M)-f_A(A)=-2(B-C)(M-A)$$Et $u\mapsto -2(B-C)u$ est évidemment linéaire.
-
Bonjour,
RHOM, c'est équivalent, puisque les coefficients barycentriques sont définis à un coefficient multiplicatif près.
On a bien $H=\left[\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2};\dfrac{1}{c^2+a^2-b^2};\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}\right]$.
Donc mon $=1$ se justifie, pas en tant que conséquence, mais en tant que choix.
Cordialement,
Rescassol
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 164.7K Toutes les catégories
- 46 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.4K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 57 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 19 CultureMath
- 50 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.6K Géométrie
- 80 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 75 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 334 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 790 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres