Bijection continue / homéomorphisme

Ben_0
Ben_0
dans Analyse
Bonjour,

Une bijection continue n'est pas forcément un homéomorphisme, mais les exemples que je connais sont tous entre des espaces non homéomorphes, ce qui motive ma question:

Une bijection continue d'un espace topologique sur lui-même est-elle nécessairement un homéomorphisme?

Je ne pense pas, mais je n'ai pas trouvé de contre-exemple. Si vous en avez un à me proposer, de préférence séparé, je suis preneur.

Merci,

Ben

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,


    Question intéressante ! Je n'ai pas réussi à trouver de contre-exemple en dimension finie, je pense qu'on doit pouvoir en trouver pour une surface non-compacte peut-être un peu bizarre mais bon... Voilà tout de même quelquechose à se mettrepour commencer.


    On regarde l'espace vectoriel $E=\R[X]$, normé par $|| \sum \alpha_i X^i || = \sup | \alpha_i |$. L'application linéaire $T \in L(E)$ définie par $T(X^i)=2^{-i}X^i$ est continue puisque $||T(P)|| \leq ||P||$, bijective, mais $T^{-1}$ n'est pas continue puisque $P_i = 2^{-i} X^i \to 0$ alors que $||T^{-1}(P_i)||=||X^i||=1$ donc $T^{-1}(P_i) \not \to 0$.
  • Alban
    Alban
    " Je n'ai pas réussi à trouver de contre-exemple en dimension finie"

    Si on cherche du côté des applications linéaires, ca risque d'être dur (théorème de Banach).
  • egorof
    egorof
    Pas besoin du théorème de Banach, il faut juste savoir que la bijection réciproque d'une application linéaire bijective est linéaire et que toutes les applications linéaires sont continues en dimension finie. Mais ce n'est pas ce que je voulais dire par "dimension finie", désolé si je n'ai pas été clair ; je voulais parler d'un exemple plus géométrique, par exemple dans un sous-ensemble de $\R^d$ ou sur une variété de dimension $d$, avec $d=2$ ou $3$.
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Meme entre parties de $\Bbb R $, il existe des contre-exemples. Considere la reunion disjointe d'une infinite d'intervalles ouverts et d'une infinite de points isoles (infinites denombrables si tu veux rester dans $\Bbb R $. Puis, tu peux reconstituer un intervalle ouvert en mettant bout a bout un intervalle ouvert, un point qui constitue son sup puis un autre intervalle ouvert dont le point est l'inf. Puis tu envoie ce qui reste de maniere evidente sur ce qui reste. C'est clairement une bijection continue, mais la reciproque est discontinue au point de "soudure" des deux intervalles initiaux.
  • Probaloser
    Probaloser
    L'exponentielle entre $]0,+\infty[\times[0,2\pi[$ et le plan privé de l'origine.
  • Probaloser
    Probaloser
    Désolé j'ai complètement déliré !
  • Prof_
    Prof_
    bosio: le problème est que les deux parties ne sont pas homéomorphes... Si j'ai bien compris, l'idée est de construire une bijection continue entre 2 parties de R homéomorphes et que cette bijection ne soit pas un homéomorphisme...
  • Alban
    Alban
    @Egorof : Effectivement pas besoin du théo de Banach (un marteau pour ecraser une fourmi :) ).
  • egorof
    egorof
    Alban : ça fait du bien de donner un bon gros coup de marteau de temps à autre pour se défouler !

    bosio frédéric : j'avais pensé à quelquechose comme ça mais je n'avais pas pensé à prendre une infinité d'éléments pour "absorber" le fait qu'on diminue d'une unité le nombre d'éléments.

    Et en imposant de plus $E$ connexe ? Ca ne marchera certainement pas dans $\R$ vu le théorème de la bijection type TS mais je pense qu'on peut trouver un exemple connexe à peine plus compliqué.
  • Prof_
    Prof_
    Bosio : Si tu prends ton ensemble sur lui même, ça fonctionne effectivement. Je pense que c'était ce que tu voulais dire. Désolé.
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Si tu veux en plus connexe, tu peux prendre le cone sur l'espace donne et etendre naturellement la bijection continue. Ca donnera alors des parties $\Bbb R ^2 $.
  • Ben_0
    Ben_0
    Merci pour vos exemples,

    J'ai bien compris celui d'Egoroff, avec bien sur un espace qui n'est pas de Banach, comme le montre la série absolument convergente mais non convergente $\sum P_i$ avec ses notations.

    Par contre, je n'ai pas compris l'exemple de Frédéric Bosio, qui a l'intérêt d'être entre parties de $\R$.

    Si on écrit $\R=\Z \cup (\R-\Z)$, comment définit-on la fonction à considérer?

    Ben
  • Tµtµ
    Tµtµ
    Je crois que ça marche :

    f : x -> [x/2] + ([x] mod 2)/2 + {x}/2

    restreint à U [n,n+1/2[, n € IN, muni de la topo de IR classique

    avec [] = partie entière et {} = partie fractionnaire

    En clair f transforme :
    [0,1/2[ en [0,1/4[
    [1,1+1/2[ en [1/4,1/2[
    ..
    [2n,2n+1/2[ en [n,n+1/4[
    [2n+1,2n+1+1/2[ en [n+1/4,n+1/2[
    ...

    f est clairement une bijection continue mais f^-1 n'est pas continue en n+1/4.
  • Prof_
    Prof_
    Non tu prends

    A = N* U ()-oo,0]\Z)

    Puis tu fais

    pour n>=2: f(n)=n-1
    f(1)= -1/2

    Pour x dans ]-1,0[, f(x)=x/2

    pour x dans ]-2,-1[, f(x)=x/2

    pour x dans ]-n-1;-n[ avec n >=2, f(x) = x+1

    f est continue bijective de A vers A.
  • Tµtµ
    Tµtµ
    "Non tu prends" ??? lol

    Mais c'est qu'il se croit dans sa salle de cours, Prof_ ! :p


    [Tµtµ : Prof ne s'adressait pas à toi, regarde les heures des messages. AD]
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Merci pour vos exemples,

    J'ai bien compris celui d'Egoroff, avec bien sur un espace qui n'est pas de Banach, comme le montre la série absolument convergente mais non convergente $\sum P_i$ avec ses notations.

    Par contre, je n'ai pas compris l'exemple de Frédéric Bosio, qui a l'intérêt d'être entre parties de $\R$.

    Si on écrit $\R=\Z \cup (\R\setminus\Z)$, comment définit-on la fonction à considérer?

    Ben
  • Prof_
    Prof_
    Merci Alain (AD) d'avoir précisé, le Non s'adressait à tµtµ pour «Si on écrit $\R=\Z \cup (\R-\Z)$, comment définit-on la fonction à considérer?» (le domaine n'était pas celui suggéré par frédéric avec des points isolés.
  • Ben_0
    Ben_0
    Merci, j'ai bien compris l'idée de "remplir un trou", puis d'ajouter une infinité de points isolés et de "trous" pour avoir l'homéomorphie des espaces.

    Ce qu'on peut généraliser en prenant un espace topologique $(X,\tau)$ et $(x_i)_{i\in\N}$ des points distincts de $X$. On construit deux nouvelles topologies sur $X$: $\tau_1$ en ajoutant comme ouverts les $\{x_i\}$, $\i\in\N$ , et $\tau_2$ en ajoutant seulement les $\{x_i\}$, $\i\in\N^*$. Alors l'identité est une bijection continue, et n'est un homéomorphisme que si ${x_0} \in \tau$. Enfin, les deux espaces sont homéomorphes si on peut prolonger l'application $x_i \mapsto x_{i+1}$ en un homéomorphisme de $(X,\tau)$ sur lui-même. Possible par exemple pour une variété si on choisit les $x_i$ sans perversité.

    Ben
  • Syl1
    Syl1
    En revanche, si quelqu'un avait un exemple de bijection continue de R^n dans R^n qui ne soit pas un homéomorphisme, ça m'intéresserait. En fait, je ne pense pas que ça existe...

    Sylvain
  • dSP0
    dSP0
    @ Syl : tu as raison, il n'existe pas de telle application.

    C'est une conséquence du théorème d'invariance du domaine, qui dit la chose suivante :

    &quotSoit $U$ un ouvert de $\R^n$, et $f : U \rightarrow \R^n$ une application
    continue injective. Alors $f$ est ouverte."
  • Yama
    Yama
    $f : [0;1[$ U {2} $\longrightarrow [0;1]$

    $f(x) = x$ $\forall x \in [0;1[$ et $f(2)= 1$
  • corentin
    corentin
    Tu as une preuve simple ou une référence dSP?
  • Syl1
    Syl1
    Le théorème d'invariance du domaine, c'est pour les applications C1, c'est une conséquence de l'inversion locale.
    Je pense que la preuve est beaucoup beaucoup plus compliquée.

    Sylvain
  • Syl1
    Syl1
    Le théorème d'invariance du domaine, c'est pour les applications C1, c'est une conséquence de l'inversion locale.
    Je pense que la preuve est beaucoup beaucoup plus compliquée.

    Sylvain
  • bs1
    bs1
    bon jour

    un exemple de lR dans lR...bien sûr les topologies de départ et d'arrivée ne sont pas les mêmes (cours de topo)

    i de (lR,O_discret) ---> (lR, O_usuel) définie par i(t) = t
    i est bijective, continue mais $i^-1$ n'est pas continue
  • lassere
    lassere
    bonjour a tous
    pour oublier un peu la soiree d'hier soir voici l'exemple d'une bijection lineaire continue dont l'application reciproque est partout discontinue.
    bien entendu l'espace n'est pas un banach
  • lassere
    lassere
    Bonjour à tous
    Pour oublier un peu la soirée d'hier soir voici l'exemple d'une bijection linéaire continue dont l'application réciproque est partout discontinue.
    Bien entendu l'espace n'est pas un Banach.
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