voisinage de l'ens vide

07steph0 · July 2006

voici les questions
Démontrer que IR est un voisinage de tous ses points.
Démontrer que l'ens vide est un voisinage de tout ces points. (on pourra démontrer, en utilisant les quantificateurs, que la négation de cette propriété est fausse)

Bonjour
Pouvez vous m’aider pour ces questions.
Il me semble que la 1er est évidente. En effet, prenons un réel x fixé. R est un voisinage de x car il contient un intervalle ouvert contenant x ; par exemple l’intervalle ]x-a ;x+a[ avec a>0.
Puisque le choix de x est quelconque ceci est vrai pour tout x. Ainsi R est un voisinage de tout ses points.
Est ce correct ?

Pour la 2eme question je ne suis pas sûr de la négation de la propriété.
Négation de (Démontrer que l'ens vide est un voisinage de tout ces points) devient démontrer que non l'ens vide c’est à dire R n’est pas un voisinage de tout ses points ?

Chatigré · July 2006

Question pas très intéressante ... Par définition d'une topologie sur E, L'ensemble E et la partie vide $/emptyset$ sont des parties ouvertes de E et donc des voisinages de chacun de leur points ... En particulier pour IR muni de sa topologie usuelle d'où le résultat. Après je ne me place peut-être pas au bon niveau (pédagogique) de la question ...

07steph0 · July 2006

Oui en effet je viens d'avoir le bac S et je me plonge dans des vieux bouquins de terminale des année 70.. pour le plaisir
Donc je crois qu'on est vraiment au niveau basique de la question.
Quelqu'un peut-il m'aider ... basiquement.
Merci

Chatigré · July 2006

Pour la première question, c'est très bien mais pour la deuxième, tu dois examiner non pas la négation de (Démontrer que l'ens vide est un voisinage de tout ces points) mais la négation de (l'ens vide est un voisinage de tout ces points) puisque la première n'est pas une proposition mathématique. Le "pour tout" par négation devient "il existe" et il n'existe certainement pas d'élément qui blablabla puisque l'ensemble vide est ... vide. La première question est intéressante à la limite mais la deuxième, je la trouve tordue ainsi proposée, trop formelle.

Gauss i va diverger Gauss i va · July 2006

E voisinage de chacun de ses points = pour tout point x de E il existe un ouvert U inclus dans E contenant x

Pour mettre en défaut cette proposition il faut prouver l'existence d'un point x tel qu'aucun ouvert U inclus dans E ne contienne x. Si E vide il n'existe pas de tel point tout simplement parce qu'il n'y a pas de point dans E.

En fait plus généralement, toute proposition du type : pour tout point x de E on a blablabla... est vérifié dans le cas ou E est vide puisqu'il n'existe jamais de point x vérifiant 'non blablabla'. Si tu veux le voir d'une autre façon encore tu peux raisonner par l'absurde en supposant que le vide n'est pas voisinage de chacun de ses points. Cela amène alors à l'existence d'un point dans l'ensemble vide ce qui est absurde.

En espérant que cela est plus clair désormais...

t-mouss

Chatigré · July 2006

merci t-mouss, j'avais la flemme

dalomi · July 2006

bonj
si l'ensemble vide n'etait pas voisinage de chacun de ses points , il existerait un point de cet ensemble tel que......dejà on voit la contradiction ! étant donné que l'ensemble vide ne contient aucun élément!!!pour t'en sortir de ces situations il faut maitriser les notions de base telle que la logique que l'on lui reservait beaucoup de place en terminales dans les annéés 70.le fait de dire que la negation de "le vide est voisinage de chacun de ses points " est ""IR n'est pas un voisinage de tous ses points " justifie une" carence " dans ces notions de base .amicalement

Musoliere · July 2006

de rien chatigré... après une "3 monts" c'est un plaisir de rédiger ce genre de chose (ca change de la cohomologie de Leibniz !!)

t-mouss

07steph0 · July 2006

merci pour votre aide. ça prend forme. mais je voudrais encore de l'aide sur ce point : car ce n'est pas parfaitement clair.
"Si tu veux le voir d'une autre façon encore tu peux raisonner par l'absurde en supposant que le vide n'est pas voisinage de chacun de ses points. Cela amène alors à l'existence d'un point dans l'ensemble vide ce qui est absurde".

raisonnons donc par l'absurde. et suppossons que le vide n'est pas un voisinage de tout ses points. cela signifie donc qu'il existe un point noté b tel qu'il n'existe pas d'ouvert contenant b et inclus dans l'ens vide.

or ce raisonnement induit l'existence d'un point dans l'ensemble vide ce qui est absurde.

est ce exactement ce raisonnement qu'il faudrait faire ?

07steph0 · July 2006

svo est ce que je dis ci dessus est exact ?

Lebesgue0 · July 2006

Oui, c'est cela.

07steph0 · July 2006

merci à tous pour l'aide précieuse ! super forum
encore une question.
j’ai lu que l’ensb vide peut etre considéreé comme un ouvert et un fermé .

pour l'ouvert ça me parait simple. ’intervalle ]a,a[ = l'ensble vide, quel que soit le reel a. l’ensemble vide doit donc être considéré comme un ouvert
mais on ne peut pas faire le même raisonnement pour le dire fermé !! comment peut on alors faire ?

de même : l’intervalle fermé [a,a] contient un seul élt {a} c’est donc un fermé. Je suppose que l’on doit pouvoir dire que {a} est un ouvert ?

michael · July 2006

Salut,

Un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert. Le complémentaire de $\emptyset$ dans $\R$ est $\R$ qui est ouvert. Donc $\emptyset$ est fermé.

Plus généralement, si $E$ est un ensemble, alors quelle que soit la topologie dont $E$ est muni, $E$ et $\emptyset$ sont ouverts ET fermés (cf. axiomes d'une topologie pour s'en convaincre).

Qui plus est, attention ! Dans $\R$ les ouverts ne sont pas seulement les intervalles ouverts de la forme $]a,b[$ (idem pour les fermés) ! Par exemple, $]1,2[ \cup ]- \pi ; \pi[$ est ouvert comme réunion de deux ouverts.

michaël.

Lebesgue0 · July 2006

Prenons comme définition : Un ensemble est dit fermé si son complémentaire est ouvert. Le complémentaire de l'ensemble vide est l'espace tout entier, en l'occurence IR, qui est bien ouvert.

Tout cela te semblera assez évident quand tu auras entendu parler d'espace topologique.

Lebesgue

Lebesgue0 · July 2006

Question d'entrainement pour 07steph :
Quels sont les ensembles de IR à la fois ouvert et fermé ?

michael · July 2006

J'ai oublié : dans $\R$ muni de la topologie usuelle, $\{ a \}$ est bien un fermé (plus généralement, dans tout espace métrique, un singleton est fermé) mais n'est pas ouvert (car, par exemple, il ne contient pas de boule ouverte centrée en $a$, i.e., pour tout $\varepsilon > 0$, $]a-\varepsilon ; a + \varepsilon[ \not\subset \{a\}$).

le maudit · July 2006

Un fermé c'est une partie dont le complémentaire est ouvert... quel est le complémentaire du vide ?

Volny DE PASCALE · July 2006

Une précision : en terminale C, nous avions des notions de logique, et de voisinage (voyez les alephs) mais pas de topologie.

La réponse ne peut donc pas être : "c'est la définition d'une topologie".

Les programes introduisaient d'abord les voisinages de $\R$, de façon à nous donner une approche intuitive, et l'année d'après (en Sup) les axiomes de topologie. De la même façon, la continuité était traitée en nous donnant une vague idée de voisinage, puis l'année d'après, en terminale, on "formalisait" la notion de voisinage.

Toute l'idée était d'apréhender avant de nommer, afin que lorsque le nom et la structure nous étaient présentés, nous ayons déjà deux à trois ans de recul sur les objets en question.

Amicalement
Volny

07steph0 · July 2006

merci merci !!!
bon j'ai bien compris que l'ensb vide et R sont a la fois fermés et ouvert dans R
pour répondre a l'entrainement de Lebesgue.
je dirait qu'il y a seulement l'ensble vide et R.
car les singletons ça marche pas. et tout autre intervalle fermé a un complémentaire ouvert (qui ne sera pas à la fois un ouvert et un fermé).
est ce exact ?
pour le démontrer faut il envisager les différents ca ou y a t-il un moyen plus rapide ?
merci

07steph0 · July 2006

en effet je travaille sur les aleph !
Volny quels sont les livres se sup sur lesquels vous avez travaillé ensuite après ces aleph ?
sont ils abordables et faits également evac cette progression ?
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
existe t'il des aleph d'exo corrigés (ceux qui sont dans le livre et non corrigés) ça m'interresse énormément !
merci

!!!!!!!!!

Aleg · July 2006

bonsoir 07steph,
Si tu te sens à l'aise avec des bouquins comme la série Aleph de Terminale C, alors, pour continuer sur la topologie, la suite "logique" est le "traité de mathématiques spéciales" de Ramis, Deschamps, Odoux, volume 2 : "topologie et éléments d'analyse", qui était le traité de "référence" pour les taupins de l'époque (l'époque où on utilisait les aleph ou autre sd ela même farine en Terminale..)
attention, c''est quand même assez musclé et d'ailleurs, aujourd'hui, ce traité de Ramis est surtout utilisé par les agrégatifs...

07steph0 · July 2006

merci Aleg pour la référence !
et pour ma question 3 post plus haut est ce exact ?

Aleg · July 2006

non, c'est plus compliqué...
mais ton intuition est la bonne : les seules parties de $\R $ à la fois ouvertes et fermées sont $\emptyset $ et $\R $ (en topologie, cela signifie que $\R $ est un espace {\bf connexe}).
Il faut raisonner par l'absurde en considérant un ensemble $A$ à la fois ouvert et fermé dans $\R $.
voici les étapes : on suppose qu'il existe $\alpha \notin A$ :
- monter que $\A $ n'est pas majoré. en déduire l'existence de $m=\inf (A\cup [\alpha ; +\infty [)$.
- montrer que $m\in A$ et en déduire que $m\leq \alpha $.
- en déduire que $A=\R $.

07steph0 · July 2006

merci Aleg mais je ne comprend pas la construction de ce raisonnement.
pourquoi commence t-on par on suppose qu'il existe a n'appartenant pas a A ??

Volny DE PASCALE · July 2006

Aleg, tu m'as oté les mots de la bouche.

J'ai un faible pour les Ramis. Ils sont abordables si on saute les passages en petits caractères.

La version que j'ai utilisée après ma TS est la deuxième édition.

Volny

07steph0 · July 2006

merci à tous. je vais essayer de les trouver d'occas.

Aleg · July 2006

07steph,
on veut montrer que, si $A$ est une partie non vide à la fois ouverte et fermée dans $\R$, alors nécessairement $A=\R $. Puisqu'on fait un raisonnement par l'absurde, on commence donc par supposer que $A \neq \R$, c'est-à-dire qu'il existe un réel $\alpha \notin A$, pour obtenir la contradiction.

gnome · July 2006

Pour compléter (!) le raisonnement d'Aleg, tu auras besoin d'utiliser une propriété particulière de $\R$ : la propriété de la borne supérieure :

"Toute partie majorée de $\R$ admet une borne supérieure" (et toute partie minorée admet une borne inférieure).

Ce n'est pas évident : $\Q$ ne satisfait pas cette propriété, par exemple. Si tu considères la partie de $\Q$ des nombres rationnels dont le carré est plus petit que $2$, alors elle admet une borne supérieure dans $\R$ (à savoir $\sqrt{2}$), mais ce nombre n'est pas dans $\Q$, donc cette partie n'a pas de borne supérieure dans $\Q$.

On dit que $\R$ est complet, ce qui n'est pas le cas de $\Q$.

Bon courage dans ton apprentissage de la topologie, moi aussi, c'est un des sujets qui m'a le plus émerveillé quand j'étais en prépa (du moins le peu qu'on en a vu) : un sujet abstrait dans lequel on manipule des objets simples, mais qui permet de faire des raisonnements évolués et d'obtenir des résultats puissants.

Le barbu rasé · July 2006

Salut gnome.

Pour répondre à l'interrogation de 07steph du 07-08-06 21:26, qui voulait voir le vide comme un intervalle fermé de $\R$, on peut écrire, par exemple, même si c'est très artificiel : $\emptyset = [2,1]$.

voisinage de l'ens vide

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