Matrices équivalentes

A est équivalente à B ssi il existe deux matrices inversibles P et Q telles que
PAQ=B.

Une matrice est de rang r si et seulement si elle peut être transformée avec la méthode de Gauss en la matrice :

$$J_{n,p,r}=\left(\begin{array}{c|c}
I_r&0\\ \hline 0&0 \end{array}\right) \in M_{n,p}(\mathbb{R})$$

On en déduit:

Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang, ou encore: si et seulement si on peut passer de l'une à l'autre par la méthode de Gauss.

<B>la réponse est visiblement mal connue de la part des étudiants.
<BR>
<BR>Le pivot de Gauss consiste à manipuler les lignes d'une matrice, et non ses colonnes.</B>
<BR>
<BR>Ben voyons...<BR><BR><BR>

Bonjour,

Dans la foulée de ce fil, pensez vous qu'en général on a bien que :
Perso, je penses que c'est faux, que c'est uniquement vrai dans le sens "$\Leftarrow$", mais n'ai rien trouvé d'explicite ou de formel là-dessus.

En effet, sachant que deux matrices semblables sont toujours équivalentes, si c'était vrai dans le sens "$\Rightarrow$", ça voudrait dire qu'on pourrait écrire tout changement de base $B=P^{-1}AP$ comme un produit fini de matrices élémentaires $B = E_1 \cdot E_2 \cdot \cdots \cdot E_N \cdot A $, ce qui me semble un peu beau pour être vrai.

Merci pour vos précisions ,

On retrouve ici toute l'ambiguïté qui existait déjà dans le fil, il y a cinq ans, à propos des opérations élémentaires : pour certains, il s'agit uniquement des opérations élémentaires sur les lignes (c'est-à-dire, la multiplication à gauche par une matrice inversible), pour d'autres il s'agit des opérations élémentaires à la fois sur les lignes et les colonnes (c'est-à-dire la multiplication à gauche et à droite par des matrices inversibles).
Vu ce qu'écrit Ralph, il fait partie des premiers (pour qui opérations élémentaires = opérations élémentaires sur les lignes).
De ce point de vue là, il a raison bien sûr. Il faut distinguer trois relations d'équivalences sur l'ensemble des matrices de même taille :
1°) l'équivalence au sens habituel ; $A$ est équivalente à $B$ quand il existe des matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $B=PAQ$. Ceci revient à dire qu'on peut passer de $A$ à $B$ par opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.
2°) l'équivalence à gauche ; $A$ est équivalente à gauche à $B$ quand il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=PA$. Ceci revient à dire qu'on peut passer de $A$ à $B$ par opérations élémentaires sur les lignes. Deux matrices sont équivalentes à gauche si et seulement si elles ont même noyau (dit dans un message plus haut).
3°) l'équivalence à droite ; $A$ est équivalente à droite à $B$ quand il existe une matrice inversible $Q$ telle que $B=AQ$. Ceci revient à dire qu'on peut passer de $A$ à $B$ par opérations élémentaires sur les colonnes. Deux matrices sont équivalentes à droite si et seulement si elles ont même image.

Ralph a écrit:

Toute matrice carrée A est donc équivalente à une infinité de matrices trinagulaires supérieures U, mais elle n'est semblable qu'à une seule d'entre elles.

Ah oui? pourtant la matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 0 \cr 0&0\end{pmatrix}$ est semblable à
$\begin{pmatrix}1 & a \cr 0&0\end{pmatrix}$ pour tout $a\in \C$.