Calculer plus vite une intégrale

Jean43
Jean43
dans Analyse
Bonjour, à la suite de l'étude du changement de variable, je me suis posé un petit problème...
Imaginons que notre seule possibilité pour calculer une intégrale soit d'utiliser un ordinateur et de faire "une somme de Riemann", c'est-à-dire de partitionner l'intervale d'intégration en N intervalles, et d'assimiler l'intégrale à le somme des aires des N carrés... Enfin.. on se comprend ? C'est Rieman quoi....

Cependant, notre ordinateur n'est pas super puissant et il ne peut sommer que 100 termes....

Le problème que nous nous posons est le suivant :
quelle est la meilleure stratégie de partition de l'intervale [a,b] d'intégration pour approcher au mieux la valeur de l'intégrale ?

Faut-il prendre un pas d'intégration constant égal à $\frac{b-a}{100$ ?


Donner la formule d'une somme de 100 termes approchant le mieux l'intégrale de a à b de f(x) dx

Une première réponse : $\sum_{n=0}^{100} \frac{b-a}{100}*f(a+n*\frac{b-a}{100})$
C'est-à-dire un pas constant....

Cependant, il semble qu'il faut que le pas soit petit lorsque f varie fortement .... Non ?

Voili Voilo....

Je trouve ce problème sympa, non ?

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Réponses

  • Jean43
    Jean43
    Bonjour, à la suite de l'étude du changement de variable, je me suis posé un petit problème...
    Imaginons que notre seule possibilité pour calculer une intégrale soit d'utiliser un ordinateur et de faire "une somme de Riemann", c'est-à-dire de partitionner l'intervale d'intégration en N intervalles, et d'assimiler l'intégrale à le somme des aires des N carrés... Enfin.. on se comprend ? C'est Rieman quoi....

    Cependant, notre ordinateur n'est pas super puissant et il ne peut sommer que 100 termes....

    Le problème que nous nous posons est le suivant :
    quelle est la meilleure stratégie de partition de l'intervale [a,b] d'intégration pour approcher au mieux la valeur de l'intégrale ?

    Faut-il prendre un pas d'intégration constant égal à $\frac{b-a}{100}$ ?


    Donner la formule d'une somme de 100 termes approchant le mieux l'intégrale de a à b de f(x) dx

    Une première réponse : $\sum_{n=0}^{100} \frac{b-a}{100}*f(a+n*\frac{b-a}{100})$
    C'est-à-dire un pas constant....

    Cependant, il semble qu'il faut que le pas soit petit lorsque f varie fortement .... Non ?

    Voili Voilo....

    Je trouve ce problème sympa, non ?

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  • egoroff
    egoroff
    Salut Jean,

    C'est une question très intéressante en effet, qui a trait à ce qu'on appelle l'analyse numérique, c'est-à-dire l'étude mathématique rigoureuse des calculs numériques, en particulier celui des intégrales. Il me semble que la question du choix des points a été soulevée par Gauss et reglée par Tchébicheff, mais bon je ne suis pas spécialiste.

    Ci-joint un cours assez vivant, le premier chapître sur la quadrature derait te ravir.
    <http://www.unige.ch/~hairer/polycop.html>.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Poste un nouveau message pour la pièce jointe !
  • egoroff
    egoroff
    Clairement.. je crois que ma pièce jointe a écoeuré le serveur ! Désolé.
    <BR>
    <BR>Bon ben tant pis, il faudra aller télécharger le poly d'analyse numérique de Hairer directement sr le site : <a href=" http://www.unige.ch/ hairer/polycop.html"&gt; http://www.unige.ch/ hairer/polycop.html</a>.<BR&gt;
  • Jean43
    Jean43
    Le lien ne marche pas... :)
    pourquoi mon message a été effacé ??

    Jean
  • Nouveau_ici
    Nouveau_ici
    Merci pour le lien, l'analyse numérique ca reste merveilleux .
  • kilébo
    kilébo
    Effectivement il y a bien mieux que la simple application des sommes de Riemann.

    C'est vrai que c'est beau...
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