W*-algèbre et dual d'espace de Banach

Bonjour,

Savez-vous ce qu'est une $W^*-algebre$ ?
En effet, dans mon livre, il est ecrit que c'est une $C^*-algebre$ qui est le dual d'un espace de Banach, mais comment est definie la multiplication et l'operation * ?
Merci d'avance

marco

Réponses

  • Une algèbre de Von neuman ?
    En gros c'est "une fermeture faible" tandis qu'une C* algèbre c'est une "fermeture forte".

    On doit en parler dans Bratelli Robinson par exemple.
    Les deux tomes sont mis à disposition sur
    <http://www.math.uio.no/~bratteli/&gt;
  • Une C*-algèbre $A$ est une algèbre de Von Neumann (AVN ou W*-algèbre) qui admet un prédual $A_{*}$. On montre que ce prédual est unique et égal à l'espace de Banach des applications linaires $\sigma-$wo continues sur $A$.
    Les lois de C*-algèbres sur ce dual sont assez claires ($f_1.f_2(x)=f_1(x) f_2(x)$ et $f^*(x)=\overline{f(x)}$).
    Ce qui est remarquables c'est que ces algèbres possèdent deux définitions topologiques et algèbriques qui sont équivalentes:
    $A$ est une AVN $\Leftrightarrow$ $A$ est wo fermée $\Leftrightarrow$ le bicommutant de $A$ est égal à A.
    Sauf erreurs.
  • Merci pour ce lien Deux718281 , tu travailles dans le domaines des espaces d'opérateurs ?
  • Alban : oui car, ccr et compagnie.
  • bonjour,
    <BR>
    <BR>Car, Ccr et compagnie avec une adresse internet à marseille, tu es au CPT ou à l'IML?
    <BR>
    <BR>
    <BR>s.<BR>
  • Merci pour vos reponses et pour le lien. Je comprends mieux de quoi parle mon livre.
    Ce que je ne comprends pas, c'est que, si le dual c'est bien l'ensemble des fonctions lineaires continues de $A$ dans $\C$, le produit de deux formes lineaires n'est pas forcement lineaire donc n'appartient pas au dual.
  • Oui en fait ce que j'ai t'ai dit sur les lois de C*-algèbre est complètement faux !
    En fait l'identification est donnée par $x \in A$ donne $\hat{x}$ dans $(A_*)^*$ définie par $\hat{x}(\omega)=\omega(x)$.
    Cela donne une involution sur $(A_*)^*$ donné par $(\hat{x})^*(\omega)=\omega(x^*)$, mais pour le produit il faut regarder l'identification de plus près.
    Je vais essayer d'y réfléchir...
  • Bonjour,

    Il y d\'ej\`a quelqu'un qui a cit\'e les bouquins bratelli et robinson comme les livres de r\'ef\'erence sur le sujet. Il y a aussi le livre de Sakai : $W^*$-algebras.

    Vu que ces livres sont assez massifs et chauds du point de vue maths, je joins un bout d'un cours datant de quelque ann\'ees (plus destin\'e \`a des physiciens,comme moi, donc de lecture tr\`es ais\'ee :o)) o\`u j'ai s\'electionner uniquement ce qui pouvait t'int\'eresser \`a savoir le chapitre 1 et l'annexe n\'ecessaire \`a la lecture.


    Cordialement,
    sk.

    PS : A noter que dans le doc, j'appelle $W^*$-alg\`ebre une alg\`ebre de von Neumann donc pour moi une $W^*$-alg\`ebre est toujours r\'ealis\'ee sur un Hilbert $H$ comme une partie de $\cal{B}(H)$.
  • Sympa ce petit poly !

    Pour Marco: Je pense que le produit est donné par $\hat{x_1}.\hat{x_2}(\omega)=\omega(x_1.x_2)$ tout simplement.

    C'est quoi ton bouquin ?
  • Alban: Ne crois-tu pas que le predual d'une W*-algebre donne uniquement la norme et l'addition de vecteurs de A ?
    La multiplication et l'operation * etant defini de maniere compatible avec la norme et l'addition pour les axiomes de C*-algebre.
    Mon livre, c'est le Sakai. Il est interessant parce qu'il donne les noms des mathematiciens qui ont demontre les theoremes, mais sinon il est un peu elliptique. Il est en soldes en ce moment dans toutes les bonnes librairies scientifiques !

    Skyrmion: Le poly m'interesse beaucoup. Est-ce que le Liouvillien a un rapport avec l'Hamiltonien d'un systeme quantique ?

    marco
  • J'ai le Sakai, et p.43 on voit que si $A$ est une C*-algèbre alors $A^{**}$ est une W* algèbre "in a natural manner".
    Je ne vois pas d'autres manières naturelles de définir l'adjonction et la multiplication, mais je peux me tromper.
    Tu ferais pas le DEA de Besançon ?
  • Tu dois avoir raison, je n'en suis qu'a la page 14.
    Je ne fais pas le DEA de Besancon. Je m'interesse aux algebres d'operateurs hors DEA dans le but de comprendre un peu la physique.
    Et toi, tu fais le DEA par correspondance ?
  • Bonjour marco,

    On peut dire que le Liouvillien se reduit au hamiltonien a temperature nulle. MAis a temperature positive, le liouvillien est different de l'hamiltonien, en gros $L=H\otimes 1 +1 \otimes H$. Je n'ai pas beaucoup de temps en ce moment, pour espliquer toutes les differentes notions de Liouvillien (standard, C-liouvillien, $L^\infty$-liouvillien, etc).

    Pour des infos supplementaires, consulter par exemple


    \lien{http://pillet.univ-tln.fr/papers/qds.pdf}
    (meca stat de l'eq).

    ou


    \lien{http://www.math.mcgill.ca/jaksic/papers_pdf/QSM-intro.pdf }
    (meca stat du non equilibre : overview)

    sk.
  • Pour Marco: en fait j'ai fini effectivement ce DEA que j'ai eu il y a peu de temps (en mai).
  • OK, merci pour le lien, skyrmion.
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