opérateurs compacts

Bonjour,

Jolie question \`a laquelle je n'ai pas encore de r\'eponse mais j'y pense.

Pour faire un petit r\'esum\'e du sujet pour ceux qui souhaitent s'y attarder, il est bien connu que {\it sur un espace de Hilbert} les op\'erateurs compact coincident avec la fermeture en norme des op\'erateurs de rang fini.

Pour un Banach ce n'est plus vrai, on ne peut plus approximer un op\'erateur compact par une limite en norme d'une suite d'op\'erateurs de rang fini.

Cependant, on a quand m\^eme quelque petits r\'esultats que je cite de m\'emoire (\`a v\'erifier donc, surtout que je travaille depuis bien longtemps que dans des espaces de Hilbert donc les Banach....)


$X$ et $Y$ d\'esignant 2 espaces de Banach pour la suite.

{\bf TH1} : Supposons qu'une suite d'op\'erateurs (not\'e op pour la suite, suis faineant) $\{T_n\}$ de $L(Y)$ v\'erifie $T_n y\to T y$, pour tout $y\in Y$. Si $K$ est un op compact de $L(X,Y)$ alors $$||T_nK-TK||\to 0. $$


D'o\`u l'on tire ce petit corollaire

{\bf Coroll 1} : Supposons qu'il existe une suite $\{P_n\}$ d'op de rang fini dans $L(Y)$ v\'erifiant $P_ny\to y$ pour tout $y\in Y$. Alors tout op compact $K$ de $L(X,Y)$ est limite en norme d'une suite d'op de rang fini. En fait $$||P_nK-K||\to 0.$$

{\bf Coroll 2} Si le Banach $Y$ a une base de Schauder alors tout op compact de $L(X,Y)$ est limite en norme d'une suite d'op de rang fini.


Autrement dit, pour r\'epondre \`a la question, il faut chercher parmi les Banach sans base de Schauder (et l\`a soudainement j'aime pas...)


Cordialement. jn.

Bonsoir,

Une suite $\{x_n\}_n$ dans un Banach $X$ est dite Base de Schauder si pour tout $x\in X$, il existe une unique famille $\{\alpha_n\}$ de $\mathbb{C}$ telle que $x=\sum_n \alpha_n x_n$.


Et s'il y a quelqu'un qui veut un exo \`a se jeter par la fen\^etre, il s'agit de montrer que $\{1, cos nx, sin nx\}_n$ est une Base de Schauder de $L_p([-\pi,\pi]), 1\leq p

Pour répondre à la question de Corentin, je crois que L(H), avec H Hilbert séparable de dimension infinie, ne possède pas de base de Schauder.
Je ne connais malheureusement pas la démo de ce résultat.

Merci pour cet article, je n'ai lu que le titre mais c'est manifestement ce que je demandais.
Par contre il est faux qu'un Hilbert séparable n'admette pas de base de Schauder, puisqu'il admet une base hilbertienne.

Bonjour,


Le th\'eor\`eme et les 2 coroll que j'ai cit\'es sont bien corrects. Pour la question initiale il faut donc bien chercher parmi les Banach sans base de Schauder pour avoir un op compact qui ne soit pas limite en norme d'une suite d'op de rang fini. Et quand je vois la t\^ete de l'exemple de Banach sans base de Schauder cit\'e dans la doc de Yama,ca risque de ne pas \^etre joli. Si quelqu'un a un exemple je suis donc preneur.

J'ai retrouv\'e la r\'ef dont je parl\'e \`a savoir le premier papier qui exhibe un Banach sans base de Schauder :

{\it Enflo, P. (1973), A counterexample to the approximation property in Banach spaces. Acta. Math. {\bf 130}, 309-317. }

Ce papier sera peut-\^etre un peu plus lisible que celui de Yama (j'aime beaucoup les phrases du genre :"This is impossible since the existence of an F:D:D: implies B:A:P: which in turn implies C:A:P:"..... Ca tue. Je sais d'ailleurs m\^eme pas ce que sont les espaces de GM be Gowers-Maurey.

Je commence \`a r\'ealiser (enfin plus exactement on m' a expliqu\'e hier soir, le d\'ecalalge horaire ca sert) que finalement ce n'est pas tant l'existence \'eventuelle d'une base de Schauder qui est dur \`a prouver mais plut\^ot de savoir si oui ou non cette base est inconditionnelle (c'est \`a dire que la s\'erie $\sum_n \lambda_i x_i$ est inconditionnellement convergente, notion que je ne connaissais pas)


Par exemple les $L_p([0,1])$, $1\leq p < \infty$ poss\`edent une base de Schauder (le syst\`eme de Haar par exemple), mais le syst\`eme de Haar est une base inconditionnelle seulement pour les $L_p([0,1])$, $1

Pour info, voici la page de M. Maurey. Je ne sais pas où est ce résultat, mais il y a de nombreux cours avec un joli contenu (bien que la présentation soit un peu brouillone).

<http://www.math.jussieu.fr/~maurey/&gt;

Bonjour :
J'ai une petite question à vous poser :
L'operateur lineaire suivant :
$\ \prod : \psi(x) \longrightarrow \psi(-x) $ s'appelle l'operateur de parité et qui a "graphiquement" pour objet de transformer la courbe $\ \psi $ à une autre courbe qui est simplement la symetrie de la courbe $\ \psi $ par rapport à l'axe $\ ( Oy ) $ ...
Par contre celui là :
$\ T : \psi(x) \longrightarrow x + \psi(x) $ s'appelle l'operateur de translation ... Mais je n'arrive pas encore à comprendre ce qu'il a pour but de transformer "graphiquement" ... Est ce que c'est comme une transvection ... ?!
Et celui là aussi :
$\ X : \psi(x) \longrightarrow x.\psi(x) $ s'appelle l'operateur de position ou l'operateur de la diagonale ... Mais je n'arrive pas aussi à comprendre ce qu'il a pour but de transformer "graphiquement" ...
Merci infiniment ... !