Analyse fonctionnelle

Lydie · June 2006

Bonjour, j'aurais quelques questions à vous poser :

Tout d'abord, est ce qu'un espace de Banach est séparable ?

Et ensuite, le petit exo suivant que je n'arrive pas à résoudre. Merci d'avance

Soit $Y$ un espace de Banach vérifiant la propriété suivante : \\
$\dsp \exists (\Pi_n) \subset \L(Y)$ tel que $\dsp \lim_{n
\rightarrow + \infty} \Pi_n(y) = y$ pour tout $\dsp y \in Y$ et
$\dsp \dim ( Im \Pi_n) < \infty$. \\
1 ) Montrer que $\dsp \sup \shortparallel \Pi_n \shortparallel <
\infty$\\
2 )Si $\dsp X$ est un espace de Banach, alors montrer que tout opérateur compact
$\dsp T : X \rightarrow Y$ est limite d'une suite d'opèrateurs de
rang fini. \\
\\
J'aurai encore deux petites questions s'il vous plait $:\$ \
Soit Y un espace de Banach et soit $\dsp T \in \L(X,Y)$ \\
1 ) Montrer que si $T$ est compact et surjectif alors $Y$ est de
dimension finie.\\
2 ) Soit $\dsp T \in \L(X)$. Si il existe une constante $c$ tel que
$\dsp \shortparallel T(x) \shortparallel \geqslant c \shortparallel
x \shortparallel $ $\dsp \forall x \in X$ alors $\dsp Im T$ est
fermé dans $\dsp X$.

romainm1 · June 2006

Un espace de Banach n'est pas nécessairement séparable.
Exemple : $\mathcal{l}^\infty$ pour la norme $|| ||_\infty$.

romainm1 · June 2006

Je ne sais pas faire le petit « l » arrondi... je parlais de l'ensemble des suites bornées (réelles ou complexes).

gnome · June 2006

Le fait que la suite des $\Pi_n$ soit bornée, c'est le théorème de Banach-Steinhaus (une famille d'opérateurs simplement bornée est bornée, tout simplement)

Si tu te donne un opérateur compact $K$, il va être la limite simple des $\Pi_n K$, qui sont de rang fini (peut-on faire mieux que limite simple ? Peut-être, je n'y ai pas réflechi, tu peux voir dans des bouquins, la preuve que les compacts soient limite d'op de rang fini est faite dans le cas des espaces de Hilbert dans quasiment tous les bouquins ... c'est peut-être possible d'adapter la preuve)

Le fait qu'un opérateur compact surjectif soit à valeurs dans un ev de dimension finie vient du fait que la boule unité d'un evn est compacte ssi l'evn est de dimension finie (th de Riesz).

corentin · June 2006

Au sujet de la limite uniforme, c'est une application directe d'un théorème classique (vraisemblablement dans ton cours), d'approximation des compacts par des sous espaces de dimension finie...
Ces exos ne sont pas vraiment difficile, tu devrais peut être essayer de t'escrimer un peu plus dessus.

Aleg · June 2006

romainm, voilà ce ce que tu appelles le "petit $\ell $ arrondi" .

Alain Debreil · June 2006

Un espace de Banach n'est pas nécessairement séparable.
Exemple : $ \ell^\infty$ pour la norme $ \vert\vert\cdot \vert\vert _\infty$.

Chatigré · June 2006

Le fait qu'un opérateur compact est limite d'opérateur de rang fini n'est pas vrai en général dans un espace de Banach ... Ce qui fait marcher la preuve dans le cas d'un espace de Hilbert c'est que la projection sur un sous-espace de dimension finie (donc un sous-espace fermé) est lipschitzienne de constante 1 (théorème de projection sur un sous-espace fermé d'un Hilbert). Plus généralement, ça marche dans le cadre de ton hypothèse (c'est la propriété d'approximation universelle d'un espace de Banach). La réciproque est par contre toujours vrai puisque l'ensemble des opérateur compact est fermé dans celui des opérateurs continues et qu'un opérateur de rang fini est évidemment un opérateur compact. Pour un contre-exemple, ce n'est pas trivial et le Brézis donne des références pour le trouver.

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