Précision DL

Clotho... · June 2006

Bonjour,

Lorsqu'on développe $(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))^2$ pour obtenir un DL à l'ordre 3 par exemple, quelle est l'interférence du développement au carré sur le terme $o(x^3)$?

Merci pour l'explication,
Cordialement,

Clotho.

Idbe · June 2006

Ca fait un o(x^6) qui vaut aussi un o(x^3)

Idbe · June 2006

L'explication c'est que o(x^3)=x^3*f(x) où f(x)-->0.

Quand tu élèves au carré ça fait x^6*f(x)^2 et on a toujours f(x)^2-->0....

egoroff · June 2006

Salut Clotho et idbe,

Ce qui est très important c'est qu'on a {\it pas} un DL d'ordre 6 mais bien d'ordre 3 : on ne peut pas gagner en précision. Le mieux pour s'en rendre compte est d'expliciter le $o(x^3)$ comme le fait idbe et l'écrivant $x^3 \varepsilon(x)$ avec $\lim \varepsilon = 0$.

bisam · June 2006

En fait, dans ce cas précis, on va gagner quand même un ordre... parce que la valuation du DL que l'on met au carré vaut 1. En d'autres termes, tous les termes même le $o(x^3)$ vont être multipliés au moins par $x$ et donc à la fin, on obtiendra un DL à l'ordre 4.

On obtient donc $$\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^2=x^2-x^3+\frac{11}{12}x^4+o(x^4)$$

egoroff · June 2006

Bien vu bisam, j'aurais dû réfléchir avant d'ouvrir la bouche (enfin façon de parler).

Clotho... · June 2006

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses. En fait, je souhaitais savoir comment on manipulait le terme en $o(x^3)$ dans le cas d'un tel développement.

Comme le précise Egoroff, en l'écrivant sous la forme "non condensée" $x^3\varepsilon(x)$, C'est donc bien un terme qui s'éleve au carré et qui se multiplie aussi par $x,x^2,...$.

Et si j'ai bien compris ce que m'a écrit Bisam, dans mon exemple, mon développement est donc au minimum d'ordre 4, c'est bien ça?

Cordialement,
Clotho.

bisam · June 2006

Non, il est au MAXIMUM d'ordre 4...

Tu n'es pas obligé d'aller jusque là, mais jusqu'à cet ordre, le développement est correct.

Clotho... · June 2006

Pour Bisam,

Je ne suis plus trop sûr de comprendre comment est-ce qu'on détermine le degré maximum de mon ordre.

Pour reprendre mon exemple, on obtient en développant et sauf erreur de ma part :

$$\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^2=x^2+x^3+\frac{11}{12}x^4+\frac{x^5}{3}+3o(x^5)+\frac{2.o(x^6)}{3}$$

Afin de retomber sur un DL à l'ordre 4, je ne vois pas d'autres moyens de remarquer que : $x^6=o(x^4)$ et $x^5=o(x^4)$ car par exemple $$\frac{x^6}{x^4}=x^2$$ qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

Ce qui donnerait donc :

$$\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^2=x^2+x^3+\frac{11}{12}x^4+o(x^4)$$

Et là, je crois que tu as effectivement raison Bisam, le degré de maximum de mon DL est bien 4, mais moi j'aurais voulu un DL à l'ordre 3...

Je sais que c'est un peu fastidieux et calculatoire, mais bon j'ai envie de savoir.

Merci pour la précision,

Cordialement,
Clotho.

Aleg · June 2006

bonsoir clotho,
je pense que tu as compris ce que bisam t'a expliqué : le dl que tu obtiens ci-dessus est bien d'ordre 4 et {\bf pas plus} (car pour aller plus loin, ie, avoir "des termes en plus", il faudrait disposer des termes du développement initial qui sont "cachés" dans le $o(x^3)$ du départ). Clair ?
Maintenant, inversement c'est évidemment beaucoup plus simple et ça ne demande aucun effort : d'après l'unicité du dl, si tu as sous la main un dl à l'ordre 4 (par exemple) et que tu souhaites obtenir un dl à l'ordre 3 (par exemple) , il suffit de tronquer le premier dl à l'ordre 3, ce qui signifie que tu ne gardes du dl-4 que les termes de degré $\leq 3$ et que tu rajoutes un $o(x^3)$ derrière, et l'affaire est classée...

Aleg · June 2006

j'ajoute que, pour obtenir ce que tu cherches (= un dl-3), il n'est nullement obligatoire d'écrire le dl-4 que tu as calculé.
il suffit, lorsqu'on fait les calculs (passage au carré ici) de n'écrire {\bf que} les termes d'ordre $\leq 3$ obtenus dans ce développement, les autres termes n'ont pas besoin d'être précisés puisqu'ils "vont automatiquement à la poubelle" (façon imagée de dire qu'ils sont en $o(x^3)$ donc qu'il n'est pas nécessaire de les expliciter).
je me permets également de te rappeler que tu trouveras dans le cours et les exos d'analyse (chapitre 6) que je t'ai transmis il ya un certain temps beaucoup d'élements d'explication, d'exemples et d'exercices résolus en détail.

Rouliane · June 2006

Je profite de ce post pour poser une question sur les DL : comment détermine-t-on l'ordre maximum du produit de 2 DL.

Je me souviens qu'en prépa, on avait une méthode utilisant une sorte de produit en croix, mais je n'arrive plus à me rappeler comment ça marchait.

En gros, comment savoir rapidement, en reprenant l'exemple de Clotho, que le DL du carré sera au maximum d'ordre 4.

Merci,

Rouliane

bisam · June 2006

Si f(x)=p(x)+o(x^n) et g(x) =q(x)+o(x^m) et si p a pour valuation k et q pour valuation l alors l'ordre maximum du DL sera : min(k+m,l+n).

Il suffit de l'écrire pour s'en convaincre... mais en général cette formule est de peu d'utilité.

Rouliane · June 2006

Merci Bisam.

La valuation est le plus petit exposant du DL, c'est bien ça ?

Je ne trouve pas que ça soit inutile pour ma part, je trouve généralement à la main directement, mais ça peut etre utilse pour vérifier.

Rouliane

Clotho... · June 2006

Bonsoir Aleg,

Merci de m'avoir répondu.

Pour le reste, disons que je refais un peu de math de temps en temps histoire de ne pas perdre la main (juste une ou deux heures par semaine.), mais plus d'une manière aussi intensive qu'il y a encore tout juste deux mois...

Bonne soirée,
Cordialement,
Clotho.

Aleg · June 2006

rebonsoir clotho,
justement je n'osais te poser la question : je pense que de nombreux intervenants sur ce forum (dont moi-même) seraient heureux d'avoir des nouvelles de la trajectoire professionnelle dont tu parlais ici-même il y a quelque temps.
Ne te crois pas obligé de répondre si ma question te paraît être posée encore trop tôt pour toi.
En tous cas, je te souhaite bon courage... et n'hésite pas à poser d'autres questions sur ce forum, juste pour refaire un peu de maths..
cordialement,
Aleg.

bisam · June 2006

Je dis que c'est de peu d'utilité car en général on se contente de faire le calcul et de ne garder que les termes adéquats... et l'ordre vient naturellement.

En revanche, cela peut être utile lors d'une étude faite avant de faire le calcul...
On sait qu'on veut obtenir à la fin un DL à tel ordre, on connaît facilement les valuations (les plus bas degrés) de chaque facteur, donc on s'arrange avec les ordres pour avoir le minmimum de calculs à faire pour obtenir le bon ordre à la fin.

Essaie de calculer le DL à l'ordre 8 en 0 de $\tan^3(x)(\cos(x)^{x^2}-1)$... et tu comprendras son utilité.

Candide · June 2006

Bonjour bisam,

Un peu empiriquement, je dirais qu'il faut prendre successivement :
- le DL de $cos(x)$ à l'ordre 7
- le DL de $ln(x)$ à l'ordre 3
- le DL de $e^x$ à l'ordre 2
- et celui de $tan(x)$ à l'ordre 6

Mais, je suis preneur du corrigé en utilisant ta méthode.

Merci d'avance.

bisam · June 2006

Posons $f(x)=\tan^3(x)(\cos(x)^{x^2}-1)$.
Tout d'abord, on remarque que $f$ est impaire, donc pour avoir l'ordre 8, il suffit d'avoir l'ordre 7.
Ensuite, $\tan^3(x)$ a pour valuation 3 donc on n'a besoin que de l'ordre 4=7-3 dans $\cos(x)^{x^2}-1=\exp(x^2\ln(\cos x))-1$.
Or $\ln(\cos(x))$ a pour valuation 2 donc $x^2\ln(\cos x)$ a pour valuation 4 et donc $\cos(x)^{x^2}-1$ également.
On en déduit qu'il suffit de l'ordre 3=7-4 pour $\tan^3(x)$.
finalement, on n'a besoin que d'un seul terme (celui de plus bas degré non nul) dans chacun des facteurs.

On a $\tan^3(x) \sim x^3$ d'une part et d'autre part $$\cos(x)^{x^2}-1=e^{x^2\ln(\cos x)}-1 \sim x^2\ln(\cos x) \sim x^2(\cos(x)-1) \sim -\frac{x^4}{2}$$
Donc $f(x) \sim -\frac{x^7}{2}$ puis $$f(x)=\tan^3(x)(\cos(x)^{x^2}-1)=-\frac{x^7}{2}+o(x^8)$$

Candide · June 2006

Merci Bisam.

J'adopte immédiatement cette méthode :-)
Elle permet de réduire substantiellement les risques d'erreur de calcul.

Mais, il est vrai que l'exemple est bien choisi pour la mettre en valeur.

Cordialement.

Clotho... · June 2006

Pour Aleg,

Bonsoir,

Même si on sort du sujet initial de mon fil - et j'ai la réponse à ma question - je n'ai pas de soucis particulier à vous donner de mes nouvelles. Vous m'avez tous beaucoup aidé pour les écrits du capes même si cela n'a pas marché et avec le recul je ne suis pas amer : car je me suis donné à 101%:) et en "candidat isolé", je ne vois vraiment pas ce que j'aurais pû faire de plus en un temps assez limité pour ma préparation et remise à niveau nécessaire.

Bref, j'ai finalement abandonné mon projet de création d'entreprise pour le moment car j'ai besoin de stabilité sur le plan professionnel pendant quelques années, et même si la création d'une entité économique reste quelque chose de passionnant, il y a tout de même de l'incertain au début et j'ai certains impératifs personnels qui ont un peu "gelé" mon avis de me lancer dans cette orientation.

Je me suis trouvé un boulot saisonnier pour deux mois qui va me donner un peu le temps de la réflexion et j'ai quelques pistes pour donner des cours particuliers à partir de septembre. Mais je suis aussi en recherche d'un emploi plus stable mais la période n'est pas très propice.

L'enseignement me branche toujours même si pas le capes de math (après tout ce n'est qu'un concours qui vient sanctionner des connaissances le jour J mais le programme est tellement vaste qu'il ne faut préjuger de rien.) , j'estime avoir largement le niveau pour enseigner jusqu'en prépa HEC inclus.

Cordialement,
Clotho.

Aleg · June 2006

merci clotho de ces nouvelles. bon courage à toi.

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