Intégration : dx variable
L'intégrale de Rieman (entre a et b) pose un dx tout petit et constant : $dx = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$
Et on démontre alors $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx*f(a+ndx)$
Après avoir vu l'intégration par changement de variable, j'en viens à me demander si on ne pourrait pas faire une formule similaire à celle de Rieman avec un dx non constant.
Pour pouvoir garder une somme de termes infinis, on va encore découper [a,b] en N (qui tend vers l'infini) intervalles de taille : $dt = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$
Cependant, on ne vas pas pas sommer les dt*f(a+ndt), mais on va introduire une fonction dy qui dépendra de a+ndt tel que $\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dy(a+ndt) = b-a$
On aura alors découpé notre intervalle [a,b] en N intervalles de tailles variables.
Bon, mais maintenant, il va falloir sommer les aires de tous ces rectangle de largeur variable dy=dy(a+ndt)
Il faut donc trouver la hauteur de ces rectangles.
Cette hauteur est la distance de la courbe à l'axe des abscisses en $a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt)$
On a donc finalement $I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dy(a+ndt)*f(a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt)*f(a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt)$
Or, $a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt) = a + y(a+ndt) - y(a)$
Soit $x(a+ndt) = a + y(a+ndt) - y(a)$
$dx(a+ndt) = [a + y(a+ndt+dt) - y(a)]-[a + y(a+ndt) - y(a)] = dy(a+ndt)$
On a donc finalement cette définition de l'intégrale :
$I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+ndt)*f(x(a+ndt))$
avec $\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+ndt) = b-a$
Si on prend $x = a+ndt$, on a $dx(a+ndt) = dt$ et $f(x(a+ndt)) = a + ndt $
et on retrouve la définition de Rieman :
$I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dt*f(a+ndt)$
Est-ce-que je me suis trompé quelque part ?
Ca me parait un peu bizarre mais bon....
Bon, et puis maintenant, on retrouve la démo de l'intégration par changement de variable
$IG = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+nt)*f(x(a+nt))$
Et comme $\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+nt) = \int_{a}^{b} x'(t), dt = x(b)-x(a)$
On a donc $IG = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t), dt$
Non ?
Vous en pensez quoi ?
Y'a pleins de trucs qui me paraissent flous dans ce que j'ai écrit !
Jean
Et on démontre alors $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx*f(a+ndx)$
Après avoir vu l'intégration par changement de variable, j'en viens à me demander si on ne pourrait pas faire une formule similaire à celle de Rieman avec un dx non constant.
Pour pouvoir garder une somme de termes infinis, on va encore découper [a,b] en N (qui tend vers l'infini) intervalles de taille : $dt = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$
Cependant, on ne vas pas pas sommer les dt*f(a+ndt), mais on va introduire une fonction dy qui dépendra de a+ndt tel que $\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dy(a+ndt) = b-a$
On aura alors découpé notre intervalle [a,b] en N intervalles de tailles variables.
Bon, mais maintenant, il va falloir sommer les aires de tous ces rectangle de largeur variable dy=dy(a+ndt)
Il faut donc trouver la hauteur de ces rectangles.
Cette hauteur est la distance de la courbe à l'axe des abscisses en $a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt)$
On a donc finalement $I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dy(a+ndt)*f(a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt)*f(a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt)$
Or, $a + \sum_{i=0}^{n} dy(a+idt) = a + y(a+ndt) - y(a)$
Soit $x(a+ndt) = a + y(a+ndt) - y(a)$
$dx(a+ndt) = [a + y(a+ndt+dt) - y(a)]-[a + y(a+ndt) - y(a)] = dy(a+ndt)$
On a donc finalement cette définition de l'intégrale :
$I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+ndt)*f(x(a+ndt))$
avec $\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+ndt) = b-a$
Si on prend $x = a+ndt$, on a $dx(a+ndt) = dt$ et $f(x(a+ndt)) = a + ndt $
et on retrouve la définition de Rieman :
$I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dt*f(a+ndt)$
Est-ce-que je me suis trompé quelque part ?
Ca me parait un peu bizarre mais bon....
Bon, et puis maintenant, on retrouve la démo de l'intégration par changement de variable
$IG = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+nt)*f(x(a+nt))$
Et comme $\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+nt) = \int_{a}^{b} x'(t), dt = x(b)-x(a)$
On a donc $IG = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t), dt$
Non ?
Vous en pensez quoi ?
Y'a pleins de trucs qui me paraissent flous dans ce que j'ai écrit !
Jean
Réponses
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Il me semble finalement qu'il faut plutot poser $dt = \lim_{N \to \infty}\frac{1}{N}$
-
Même pas faut que je réfléchisse
-
Pas trop eu le tps de lire tout mais je dirai voir l'intégrale de Henstok
-
Bonjour Jean.
Voilà ce qui arrive quand on cherche à généraliser pour le plaisir de généraliser. On finit par s'emméler les pinceaux dans les notations à priori.
En fait, si tu regardes un cours un peu général sur l'intégrale de Riemann, tu verras qu'on la définit sans utiliser la régularité des intervalles (tes a+n.dx). Par exemple avec les fonctions réglées.
Revenons à ce que tu proposes. Un gros problème est ta définition des dy. La condition que tu poses (somme égale à b-a) ne suffit pas à assurer que l'on reste sur [a,b].
La suite, à des erreurs de notation près, me semble saine. Mais un peu trop restrictive par rapport aux définitions classiques de l'intégrale de Riemann. Je te conseille de lire quelques classiques, et peut-être aussi des cours sur l'intégrale de Henstock.
Cordialement -
Un lien sur un cours d'intégration (intégrale de Kurzweil-Henstock)
<http://www.cmi.univ-mrs.fr/~briend/cours/cours.php>
Cordialement -
Merci !
Voilà mais le but n'était pas de généraliser pour généraliser, mais juste de retrouver la formule de changement de variable.... Mais y'a des bugs... Faut que je médite....
Jean
Merci, je vais voir les cours -
Oui donc, déjà, il faut dire x(a)=a et x(b)=b, x croissant et somme des dx = b-a
Voilà -
Bon, alors je le reformule mieux : dites moi si c'est juste là ?
si x est une fonction continue croissante sur [a,b] alors :
$\int_{i}^{j} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} [x( a + (n+1) \frac{b-a}{N} ) - x( a + n \frac{b-a}{N} )] * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
si x(a)=i, x(b)=j et $i + \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) = j$
Est-ce-que c'est juste ca ?
Ca permet de donner une définition plus générale de l'intégrale, en donnant la possibilité à dx d'être variant...
On retrouve la formule de Rieman si x(t)=t
On peut retrouver ainsi la formule du changement de variable :
$I = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f(x( a + n \frac{b-a}{N} ))$
$x(a)=x(a)$, $x(b)=x(b)$, et $x(a)+\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) = x(b)$
Donc $I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(x), dx $
Non ?
Il me semble donc que l'intégration par changement de variable est quelque chose de pas mal quand même...
Jean -
C'est dans ces moments là qu'on réalise la puissance et la clarté de l'intégrale de Lebesgue et de la théorie de la mesure
-
Que veux-tu dire ? Je n'ai pas compris...
Jean -
Bon, alors je reformule encore
si x est une fonction continue croissante sur [a,b] alors :
$ I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} [x( a + (n+1) \frac{b-a}{N} ) - x( a + n \frac{b-a}{N} )] * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$ I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
On peut retrouver ainsi la formule du changement de variable :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Maintenant, faisons apparaitre dt=(b-a)/N afin de retrouver une série de Rieman :
$I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N}*\frac{dx( a + n \frac{b-a}{N} )}{\frac{b-a}{N}} * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} * x'(a + n \frac{b-a}{N}) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Donc, d'après la formule de Rieman :
$I = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt $
Tout cela me parait peu historique...
Non ?
Jean -
Désolé pour la faute d'otographe : Que VeuX-tu dire ?
-
Bon, alors je le reformule mieux : dites moi si c'est juste là ?
Si $x$ est une fonction continue croissante sur $[a,b]$ alors :
$\begin{align*}
\int_{i}^{j} f(x)\,\mathrm dx &= \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \Big(x\left( a + (n+1) \textstyle{ \frac{b-a}{N}} \right) - x\left( a + n\textstyle{ \frac{b-a}{N} }\right)\Big) f \left( x ( a + n \textstyle{ \frac{b-a}{N} }) \right) \\
&= \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx\left( a + n \textstyle{ \frac{b-a}{N}} \right) f \left( x ( a + n \textstyle{ \frac{b-a}{N} }) \right)
\end{align*}$
Si $x(a)=i,\ x(b)=j,\ i + \lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{n=0}^{N-1} \mathrm dx( a + n \frac{b-a}{N} ) = j$
Est-ce que c'est juste ça ?
Ca permet de donner une définition plus générale de l'intégrale, en donnant la possibilité à $\mathrm dx$ d'être variant...
On retrouve la formule de Riemann si $x(t)=t$
On peut retrouver ainsi la formule du changement de variable :
$\begin{align*}
I &= \int_{a}^{b} x'(t) f(x(t))\,\mathrm dt \\
&= \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1}\mathrm dx( a + n \textstyle{ \frac{b-a}{N}} ) f\left(x( a + n \textstyle{ \frac{b-a}{N}} ) \right)
\end{align*}$
$x(a)=x(a),\ x(b)=x(b),\ x(a)+\sum\limits_{n=0}^{N-1}\mathrm dx( a + n \frac{b-a}{N} ) = x(b)$
Donc $\displaystyle{ I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(x)\mathrm dx} $
Non ?
Il me semble donc que l'intégration par changement de variable est quelque chose de pas mal quand même...
Jean -
Merci d'avoir mieux latexé, mais depuis, j'avais reformulé....
si $x$ est une fonction continue croissante sur \left[ a,b \right] alors :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} [x( a + (n+1) \frac{b-a}{N} ) - x( a + n \frac{b-a}{N} )] * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Si on veut la formule de Rieman c'est-à-dire l'intégrale entre $a$ et $b$ avec $dx$ constant, il suffit de prendre $x$ tel que $x(t)=t$
Si on veut la formule du changement de variable :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Maintenant, faisons apparaitre $\frac{b-a}{N} afin de retrouver une série de Rieman :
$J = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N}*\frac{dx( a + n \frac{b-a}{N} )}{\frac{b-a}{N}} * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$J = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} * x'(a + n \frac{b-a}{N}) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Donc, d'après la formule de Rieman :
$J = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt $
Tout cela me parait peu historique...
Non ?
Jean -
Merci d'avoir mieux latexé, mais depuis, j'avais reformulé....
si $x$ est une fonction continue croissante sur \left[ a,b \right] alors :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} [x( a + (n+1) \frac{b-a}{N} ) - x( a + n \frac{b-a}{N} )] * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Si on veut la formule de Rieman c'est-à-dire l'intégrale entre $a$ et $b$ avec $dx$ constant, il suffit de prendre $x$ tel que $x(t)=t$
Si on veut la formule du changement de variable :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Maintenant, faisons apparaitre $\frac{b-a}{N} afin de retrouver une série de Rieman :
$J = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N}*\frac{dx( a + n \frac{b-a}{N} )}{\frac{b-a}{N}} * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$J = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} * x'(a + n \frac{b-a}{N}) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Donc, d'après la formule de Rieman :
$J = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt $
Tout cela me parait peu historique...
Non ?
Jean -
Merci d'avoir mieux latexé, mais depuis, j'avais reformulé
si $x$ est une fonction continue croissante sur \left[ a,b \right] alors :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} [x( a + (n+1) \frac{b-a}{N} ) - x( a + n \frac{b-a}{N} )] * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Si on veut la formule de Rieman c'est-à-dire l'intégrale entre $a$ et $b$ avec $dx$ constant, il suffit de prendre $x$ tel que $x(t)=t$
Si on veut la formule du changement de variable :
$I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx( a + n \frac{b-a}{N} ) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Maintenant, faisons apparaitre $\frac{b-a}{N}$ afin de retrouver une série de Rieman :
$J = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N}*\frac{dx( a + n \frac{b-a}{N} )}{\frac{b-a}{N}} * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
$J = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} * x'(a + n \frac{b-a}{N}) * f ( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) ) $
Donc, d'après la formule de Rieman :
$J = \int_{a}^{b} x'(t)*f(x(t))\, dt $
Tout cela me parait peu historique...
Non ?
Jean -
Merci d'avoir mieux latexé, mais depuis, j'avais reformulé
Si $x$ est une fonction continue croissante sur $\left[ a,b \right]$ alors :
$ \displaystyle I =\int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\,\mathrm dt = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \Big(x( a + (n+1) \textstyle{\frac{b-a}{N}} ) - x( a + n \textstyle{\frac{b-a}{N}} )\Big) \cdot f \left( x ( a + n \textstyle{\frac{b-a}{N}} ) \right) $
$I = \lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\mathrm dx( a + n \frac{b-a}{N} ) \cdot f \left( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) \right) $
Si on veut la formule de Riemann c'est-à-dire l'intégrale entre $a$ et $b$ avec $dx$ constant, il suffit de prendre $x$ tel que $x(t)=t$
Si on veut la formule du changement de variable :
$ \displaystyle I = \int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\,\mathrm dt = \lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\mathrm dx( a + n \textstyle{ \frac{b-a}{N}} ) \cdot f \left( x ( a + n \textstyle{\frac{b-a}{N}} ) \right) $
Maintenant, faisons apparaitre $\frac{b-a}{N}$ afin de retrouver une série de Riemann :
$J = \lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{n=0}^{N-1} \dfrac{b-a}{N}\cdot \dfrac{\mathrm dx( a + n \frac{b-a}{N} )}{\frac{b-a}{N}} \cdot f \left( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) \right) $
$J = \lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} x'(a + n \frac{b-a}{N}) \cdot f \left( x ( a + n \frac{b-a}{N} ) \right) $
Donc, d'après la formule de Riemann : $$J = \int_{a}^{b} x'(t)\cdot f(x(t))\, \mathrm dt
$$ Tout cela me parait peu historique...
Non ?
Jean -
Salut Jean.
Quelques remarques :
* Tu poses x croissante. Ce n'est pas nécessaire pour le changement de variable.
* Tu remplaces subrepticement une différence de valeurs de x par un dx (signification ?) qui se transforme en une dérivée ensuite. Sans passage à la limite (autre que sur N), ce n'est pas justifié.
* Tout cela est plus compliqué et moins général que les preuves habituelles.
* "Tout cela me parait peu historique... ". Connais-tu les travaux historiques sur l'intégration (Wallis, Briggs, Newton et Leibnitz, Taylor, etc.) ?
Cordialement -
Outre les considérations historiques, l'intégrale de Stieltjes devrait t'intéresser.
-
Le truc c'est que je n'ai pas le temps de lire pleins de bouquins....
J'aime les maths.... mais j'aime la vie aussi.... La plage, les filles, le beach.... et pour l'instant... j'ai pas le temps... plus tard surement je prendrai le temps de lire des bouqins... mais là....
bon, pour ce qui est du dx, c'est vrai que ca ne sert à rien d'avoir mis dx surtout que je ne maitrise pas du tout cette notation (je suis en terminale) donc on peut très bien laisser x(a+(n+1)dt)-x(a+ndt)
en revanche, le passage à x' est justifié semble-t-il car quand N tend vers + l'infinin, dt = (b-a)/N tend vers 0 et donc on a la limite quand dt tend vers 0 de x(a+ndt+dt)-x(a+ndt) / dt
Voilà, non ?
Jean -
Alors par contre, comment peut-elle être non croissante ?
Cela voudrait dire qu'on passerait deux fois sur une même aire et qu'on majorerait notre intégrale il me semble non ?
Pour ce qui est de plus compliqué, le but n'est pas de donné ne preuve, mais d'établir un cheminement.... C'était pour moi.... -
L'injectivité devrait suffire je pense.
En espérant ne pas avoir dit trop de conneries. Copyright Toto.le.zero. -
Jean,
Je relativise donc ce que tu as dit, tu es en terminale (je te pensais à ce niveau ou moins, au plus en première année de licence). C'est bien d'avoir essayé d'éclaircir une notion qui t'a été présentée un peu trop simplement. Mais il faudra aller plus loin par la suite.
Pour en revenir à ton x', le passage serait justifié si tu étais passé à la limite. Mais ce n'est pas ce que tu as fait, tu as remplacé avant le passage à la limite, la différence par sa limite, le x(a+ndt+dt)-x(a+ndt) / dt par x'.
Un calcul analogue pour une limite en 0 :
lim [ x (1/x) ]= lim [0 (1/x)] = lim [0] = 0
Ce qui est manifestement faux, bien que x a bien 0 comme limite.
Quand à la formule d'intégration par changement de variable, elle ne demande pas grand chose à la fonction x(t) (en gros que les deux intégrales aient un sens), même pas d'être injective (on peut prendre x=sin(t) avec t variant de 0 à $\frac{5\pi}{2}$ pour avoir les bornes 0 et 1 de x).
Cordialement
Gérard, qui a cherché à comprendre la formule de changement de variable pendant un an, avant de comprendre ... qu'il n'y a rien à comprendre. -
Pour le passage à la limite, tu as raison... Mais l'idée y est...
Mais pour ce qui est de x(t), explique moi comment elle peut ne pas être croissante ?
Si x reprend une valeur qu'il a déjà prise, on compte deux fois la même chose !
non ?
Jean
PS : il ne me semble pas qu'il n'y ait rien à comprendre dans le changement de variable...
Moi j'trouve que c'est pas mal....
C'est une généralisation de Rieman non ? -
Mais quand tu vas "à l'envers" le $dx$ est négatif donc tu reprends ce que tu avais ajouté...
-
Jean : L'intérêt de la formule est qu'il n'y a rien à comprendre, c'est un résultat de calcul, comme les identités remarquables. Moi, j'y cherchais un mystère.
"C'est une généralisation de Riemann non ?"
Je ne comprends pas bien.
Cordialement -
T'as raison ergoroff je suis trop idiot !!!
Ah beh donc ca c'est vraiment marrant !
Et puis, ca peut même sortir de x(a), x(b) alors ?
Non ?
GERARD >> Beh Rieman dit que $\int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}\frac{x(b)-x(a)}{N}*f(a+n \frac{b-a}{N})$
Alors qu'on peut dire que :
$\int_{x(a)}^{x(b)} f(t)\, dt = \lim_{N \to \infty}[x(a+(n+1) \frac{b-a}{N}) - x(a+n \frac{b-a}{N})]*f(x(a+ n \frac{b-a}{N}))$
Jean -
une petite erreur sur ce que rieman dit .... c'est $f(a+ n \frac{x(b)-x(a)}{N} )$ et non pas $f(a+ n \frac{b-a}{N} )$
-
Non, jean. La définition que $\underline{ tu}$ connais de l'intégrale de Riemann (En fait c'est même une formule connue sous un autre nom) est celle que tu écris. La notion d'intégrale de Riemann est plus complexe et beaucoup plus générale. C'est pour celà qu'on te renvoyait à des cours plus généraux.
Cordialement. -
Que la NOTION d'intégrale de Riemann soit plus générale je suis d'accord...
Cependant, la définition que donne Riemann de l'intégrale est avec dx constant, càd x(t)=t
Non ?
Jean
[Jean : J'ai corrigé mais Riemann. AD] -
Jean, je crois que tu devrais donner tes sources (D'où tu sors celà). Je ne connais pas les publications princeps de Riemann (probablement écrites en Allemand), donc je demande à voir. En tout cas, dès Leibnitz (2 siècles avant) dx n'est pas une constante.
Cordialement
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