casse tête holomorphe

Moi je dirais,

$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(re^{iy})e^{-i n y}dy=\int_0^{2\pi} \sum_{k=0}^{\infty}a_k r^k e^{iky} e^{-i n y}dy=\sum_{k=0}^{\infty}a_k r^k \int_0^{2\pi} e^{i(k-n)y}dy$.

Puis on peut intervertir des signes sommes car il y a convergence normale de la série, et l' intégrale est nul ssi $k=n$, d' où: $\displaystyle a_n=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2r^n\pi} f(re^{iy})e^{-i n y}dy$.

Et enfin l' égalité des modules, mais bon ...

Correction:

Salut,

Tu notes $a_{n}=u_{n}+iv_{n}$ où $u_{n}$ et $v_{n}$ sont réels. En développant $f$ en série entière, tu trouves aisément que:
$Re(f(re^{i\theta}))=a_{0}+\sum_{n>0}u_{n}r^{n}cos(n\theta)
-\sum_{n>0}v_{n}r^{n}sin(n\theta)$ et tu en déduis que les coefficients de Fourier (d'indice $n>0$) de la fonction $\theta \longrightarrow Re(f(re^{i\theta}))$ sont $r^{n}\frac{u_{n}+iv_{n}}{2}$ et tu écris la définition de ce coefficient de Fourier sous forme intégrale pour en déduire que:
$a_{n}=
\frac{1}{\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}Re(f(re^{i\theta}))e^{-in\theta}d\theta$
et finalement conclure.